Dadas as retas
r: x=y=z-3 e s:l x=-5 y=t z=2+2 t
escreva equações paramétricas da reta t, concorrente a r e s e paralela ao vetor v=(2,0,3).

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço:
r:
Queremos determinar equações paramétricas de uma reta e que intersecte simultaneamente e .

Passo 2

Uma reta paralela a v=(2,0,3) pode ser escrita em forma paramétrica como
(x,y,z)=(x0,y0,z0)+mu,(2,0,3)
Para que essa reta intersecte r, deve existir mu=alpha tal que
(x0+2alpha,;y0,;z0+3alpha)
satisfaça em r as condições x=y e z-3=x. Logo obtemos duas equações:
x0+2alpha = y0, z0+3alpha -3 = x0+2alpha

Passo 3

Para que a mesma reta intersecte s, deve existir mu=beta e parâmetro t1 tais que
(x0+2beta,;y0,;z0+3beta)
satisfaça em s as condições x=-5, y=t1 e z=2+2t1. Isso gera mais três equações:
x0+2beta=-5, y0=t1, z0+3beta=2+2t1

Passo 4

Resolvendo o sistema completo:
  1. De x0+2alpha=y0 e z0+3alpha-3=x0+2alpha segue
    y0=x0+2alpha e x0=z0+alpha-3.
  2. De x0+2beta=-5 e z0+3beta=2+2y0 substituímos y0 e x0 e obtemos, após eliminação de beta, z0+3alpha=25, beta=alpha-65, y0=-135
  3. Escolhendo alpha=0 para simplificar, obtemos x0=-135, y0=-135, z0=25

Passo 5

Substituindo (x0,y0,z0) em
(x,y,z)=(x0,y0,z0)+mu(2,0,3)
chegamos à equação paramétrica final:
x=-135+2mu, y=-135, z=25+3mu

Resposta

A reta concorrente a r e s e paralela a v=(2,0,3) é
x=-tfrac135+2lambda, y=-tfrac135, z=tfrac25+3lambda

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