Encontre todas as soluções do sistema de cada um dos sistemas abaixo:
r2 y+z+4 w=7 x+4 y+z+2 w=8

Passo 1

O enunciado pede todas as soluções do sistema linear
2y + z + 4w = 7, x + 4y + z + 2w = 8,
ou seja, é um sistema com quatro incógnitas (x,y,z,w) e apenas duas equações. Para encontrar todas as soluções usamos o método de variáveis livres: escolhemos duas incógnitas como parâmetros e expressamos as outras duas em função desses parâmetros.

Passo 2

Da primeira equação isolamos z. Temos
2y + z + 4w = 7 Longrightarrow z = 7 - 2y - 4w

Passo 3

Substituímos essa expressão de z na segunda equação para isolar x. A segunda equação é
x + 4y + z + 2w = 8
Substituindo z = 7 - 2y - 4w obtemos
x + 4y + l(7 - 2y - 4wr) + 2w = 8 ;Longrightarrow; x + 4y + 7 - 2y - 4w + 2w = 8 ;Longrightarrow; x + 2y - 2w = 1 ;Longrightarrow; x = 1 - 2y + 2w

Passo 4

Como temos quatro incógnitas e apenas duas equações, sobra graus de liberdade iguais a 4 - 2 = 2. Podemos escolher y e w como variáveis livres e atribuir-lhes parâmetros.

Passo 5

Definimos
y = s, w = t,
onde s,tinR. Então, pelas expressões encontradas,
x = 1 - 2s + 2t, z = 7 - 2s - 4t

Passo 6

Assim, a solução geral do sistema é
(x,y,z,w) = l(1 - 2s + 2t,;s,;7 - 2s - 4t,;tr),
com s,tinR.

Resposta

boxed (x,y,z,w) = l(1 - 2s + 2t,;s,;7 - 2s - 4t,;tr), s,tinR

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