Encontre todas as soluções do sistema de cada um dos sistemas abaixo:
y+z+w & =3 x-y+3 z+w & =4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções do sistema linear
y + z + w = 3, x - y + 3z + w = 4
Este é um sistema com quatro incógnitas x,y,z,w e apenas duas equações, ou seja, subdeterminado. O conteúdo necessário é manipulação de sistemas lineares por eliminação de variáveis e introdução de parâmetros livres.

Passo 2

Da primeira equação podemos isolar w. Temos
y + z + w = 3 Longrightarrow w = 3 - y - z

Passo 3

Substituímos w = 3 - y - z na segunda equação:
x - y + 3z + (3 - y - z) = 4 Longrightarrow x - 2y + 2z + 3 = 4 Longrightarrow x = 1 + 2y - 2z

Passo 4

Como só havia duas equações para quatro variáveis, y e z permanecerão livres. Introduzimos parâmetros:
y = s, z = t, s,tinR
Então
w = 3 - s - t, x = 1 + 2s - 2t

Resposta

A família de soluções do sistema é
(x,y,z,w) = l(1 + 2s - 2t,;s,;t,;3 - s - tr), s,tinR

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