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Determine as equações na forma paramétrica e na forma simétricas (quando existirem) das seguintes retas:
15a) A reta que passa pelos pontos : e B :
Passo 1
O enunciado traz duas retas paralelas no plano
e pede para mostrar que a distância entre elas satisfaz
Em seguida, no espaço , pede a forma paramétrica e a forma simétrica da reta que passa pelos pontos
Para isso, vamos usar (1) a fórmula da distância de um ponto a uma reta no plano e (2) a representação vetorial de uma reta no espaço.
Passo 2
Escolhemos um ponto qualquer sobre a reta . Como , temos
A distância de um ponto à reta é dada por
Substituindo a x0 + b y0 = d obtém-se
d(r,s) =l|,d - cr|raiza^2+b^2 =|c-d|raiza^2+b^2,
que era o que se queria demonstrar.
Passo 3
Para a reta em R^3 que passa por A e B, primeiro encontramos o vetor diretor
vec v = AB = (0-1,;1-4,;1-(-2)) = (-1,,-3,,3)
Então a forma vetorial é
(x,y,z) = (1,4,-2) + t,(-1,-3,3),
ou, em forma paramétrica isolando as componentes,
x = 1 - t, y = 4 - 3t, z = -2 + 3t
Passo 4
Como nenhuma componente de vec v é zero, podemos passar à forma simétrica isolando t em cada equação paramétrica:
t = x-1-1=y-4-3=z+23
Podemos também escrever de modo estético trocando sinais no primeiro quociente:
1-x1=4-y3=z+23
Resposta
Distância entre as retas
d(r,s)=|c-d|raiza^2+b^2
Reta em R^3 que passa por A e B:
Forma paramétrica