Considere as retas r e s de equações cartesianas:
& r: a x+b y=c & s: a x+b y=d
Mostre que a distância d(r, s) entre r e s obedece a equação:
d(r, s)=|c-d|raiza^2+b^2

Retas no Espaço

15 -
Determine as equações na forma paramétrica e na forma simétricas (quando existirem) das seguintes retas:
15a) A reta que passa pelos pontos A : (1,4,-2) e B : (0,1,1)

Passo 1

O enunciado traz duas retas paralelas no plano
r:;a x + b y = ce s:;a x + b y = d
e pede para mostrar que a distância entre elas satisfaz
d(r,s)=|c-d|raiza^2+b^2
Em seguida, no espaço R^3, pede a forma paramétrica e a forma simétrica da reta que passa pelos pontos
A=(1,4,-2)e B=(0,1,1)
Para isso, vamos usar (1) a fórmula da distância de um ponto a uma reta no plano e (2) a representação vetorial de uma reta no espaço.

Passo 2

Escolhemos um ponto P0=(x0,y0) qualquer sobre a reta s. Como P0in s, temos
a x0 + b y0 = d
A distância de um ponto (x0,y0) à reta r: a x + b y = c é dada por
dist=l|a x0 + b y0 - cr|raiza^2+b^2
Substituindo a x0 + b y0 = d obtém-se
d(r,s) =l|,d - cr|raiza^2+b^2 =|c-d|raiza^2+b^2,
que era o que se queria demonstrar.

Passo 3

Para a reta em R^3 que passa por A e B, primeiro encontramos o vetor diretor
vec v = AB = (0-1,;1-4,;1-(-2)) = (-1,,-3,,3)
Então a forma vetorial é
(x,y,z) = (1,4,-2) + t,(-1,-3,3),
ou, em forma paramétrica isolando as componentes,
x = 1 - t, y = 4 - 3t, z = -2 + 3t

Passo 4

Como nenhuma componente de vec v é zero, podemos passar à forma simétrica isolando t em cada equação paramétrica:
t = x-1-1=y-4-3=z+23
Podemos também escrever de modo estético trocando sinais no primeiro quociente:
1-x1=4-y3=z+23

Resposta

Distância entre as retas
d(r,s)=|c-d|raiza^2+b^2
Reta em R^3 que passa por A e B:
Forma paramétrica
x = 1 - t, y = 4 - 3t, z = -2 + 3t,
Forma simétrica
x-1-1=y-4-3=z+23

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