Resolva os sistemas lineares A x=b abaixo usando eliminação de GaussJordan:
(h) & x1-x2+2 x3+x4-3 x5=1 &-2 x1+x2-x4+x5=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a eliminação de Gauss-Jordan. O enunciado nos dá duas equações com cinco variáveis ( x1, x2, x3, x4, x5). Para resolver, vamos montar a matriz aumentada e simplificar passo a passo até encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema. Isso significa colocar os coeficientes das variáveis e os termos constantes em uma matriz:
1 & -1 & 2 & 1 & -3 & | & 1 -2 & 1 & 0 & -1 & 1 & | & 2

Passo 3

Agora, queremos ter um 1 na primeira posição da primeira linha, o que já temos. Em seguida, vamos eliminar o -2 abaixo desse 1 para ficar mais fácil de resolver. Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por 2 e somar com a segunda linha:
2 times Linha 1 & = [2, -2, 4, 2, -6 | 2] Linha 2 + 2 times Linha 1 & = [0, -1, 4, 1, -5 | 4]
Então, a matriz fica:
1 & -1 & 2 & 1 & -3 & | & 1 0 & -1 & 4 & 1 & -5 & | & 4

Passo 4

Vamos simplificar a segunda linha para ter um coeficiente igual a 1. Podemos multiplicar a segunda linha por -1:
1 & -1 & 2 & 1 & -3 & | & 1 0 & 1 & -4 & -1 & 5 & | & -4

Passo 5

Agora, queremos eliminar o -1 na primeira linha, segunda coluna. Para isso, vamos adicionar a segunda linha à primeira:
Linha 1 + Linha 2 & = [1, 0, -2, 0, 2 | -3]
A matriz fica:
1 & 0 & -2 & 0 & 2 & | & -3 0 & 1 & -4 & -1 & 5 & | & -4

Passo 6

Agora, observamos que temos duas equações simplificadas:
x1 - 2x3 + 2x5 = -3 x2 - 4x3 - x4 + 5x5 = -4
Como temos cinco variáveis e apenas duas equações, algumas variáveis serão livres. Vamos escolher x3, x4 e x5 como variáveis livres.

Passo 7

Vamos expressar x1 e x2 em função das variáveis livres:
x1 &= -3 + 2x3 - 2x5 x2 &= -4 + 4x3 + x4 - 5x5

Resposta

A solução geral do sistema é:
x1 = -3 + 2x3 - 2x5 x2 = -4 + 4x3 + x4 - 5x5 x3 = livre x4 = livre x5 = livre
Ou, de forma parametrizada:
x = -3 + 2x3 - 2x5 -4 + 4x3 + x4 - 5x5 x3 x4 x5 , x3, x4, x5 in R

Exercícios relacionados