Considere as retas no espaço \mathbb{R}^{3} parametrizadas por
r_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=1+2 t \\\ y=1+t \\\ z=3 \end{array}, \quad t \in \mathbb{R} \quad \text { e } \quad r_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=1-2 s \\\ y=1+s \\\ z=-1 \end{array}, \quad s \in \mathbb{R} .\right.\right.
E seja \vec{w} o produto vetorial entre os vetores direção de r_{1} e r_{2}.
Julgue cada umas das afirmações abaixo como VERDADEIRA ou FALSA.
As retas r_{1} e r_{2} não têm nenhum ponto em comum.
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^3\) por parametrizações e pede para julgar a afirmação de que as retas não têm ponto em comum. Informações fornecidas:
- Reta \(r_{1}\):
\[\begin{cases} x=1+2t\\[4pt] y=1+t\\[4pt] z=3 \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}.
Reta r_{2}\]:
\[\begin{cases} x=1-2s\\[4pt] y=1+s\\[4pt] z=-1 \end{cases},\quad s\in\mathbb{R}.\]
- Foi definido \(\vec{w} como o produto vetorial entre os vetores direção de r_{1} e r_{2} (informação que pode ser útil para entender relação entre direções).
- A afirmação a julgar: “As retas r_{1} e r_{2} não têm nenhum ponto em comum.”]
Passo 2
Identificar os vetores direção das retas (isto é, os vetores que indicam para onde a reta aponta quando o parâmetro varia).
Vetor direção de r_{1}: \vec{v}_{1}=(2,1,0). Isso vem dos coeficientes de t nas coordenadas.
Vetor direção de r_{2}: \vec{v}_{2}=(-2,1,0). Isso vem dos coeficientes de s.
Explicação didática: um ponto genérico em r_{1} é (1,1,3)+t(2,1,0) e em r_{2} é (1,1,-1)+s(-2,1,0). O componente z dos vetores direção é 0 em ambos os casos, o que significa que as duas retas são “horizontais” paralelas ao plano xy (ou seja, cada reta tem z constante).
Passo 3
Método para testar se duas retas se intersectam: igualar as coordenadas paramétricas e verificar se existe (t,s)\) que satisfaça simultaneamente as três equações. Montamos o sistema
\[\begin{cases} 1+2t = 1-2s\\[4pt] 1+t = 1+s\\[4pt] 3 = -1 \end{cases}.
Este sistema vem de exigir que a coordenada x\] de um ponto em \(r_{1} seja igual à coordenada x de um ponto em r_{2}, idem para y e z.]
Passo 4
Resolver as duas primeiras equações do sistema passo a passo:
A segunda equação dá
Logo s=0 também. Até aqui encontramos um candidato (t,s)=(0,0) que satisfaz as equações de x e y.
Passo 5
Verificar a terceira equação (a coordenada z). As parametrizações dão z=3 para qualquer ponto de r_{1} e z=-1 para qualquer ponto de r_{2}. A equação correspondente do sistema é
3 = -1,
que é uma contradição (impossível). Isso significa que não existe nenhum par (t,s) que satisfaça simultaneamente as três equações. Conclusão lógica: não há ponto comum às duas retas.
Passo 6
Interpretação geométrica complementar (ajuda a fixar a ideia): cada reta está contida em um plano paralelo ao plano xy, mais precisamente r_{1} está no plano z=3 e r_{2} está no plano z=-1. Como esses planos são paralelos e distintos, quaisquer pontos de uma reta têm z diferente dos pontos da outra reta, o que impede interseção. Observação adicional: \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} não são múltiplos escalares um do outro (logo as retas não são paralelas entre si), então as retas são não-paralelas e não se intersectam — isto é, são retas “revesas” (skew) em planos paralelos distintos.