(3,0) Considere as retas
l r: X=(1,2,3)+de<a(-1,3,3) s:-3 x-3=y-1=z-1
Determine a equação geral de um plano pi que contenha r e s.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
r: X=(1,2,3)+de<a,(-1,3,3), s:-3x-3=y-1=z-1
Queremos a equação geral de um plano pi que contenha ambas. O conteúdo envolve geometria analítica em R^3: para determinar um plano, precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal, que obtém-se pelo produto vetorial de dois vetores contidos no plano.

Passo 2

Identificamos na reta r um ponto
A=(1,2,3)
e um vetor diretor
u=(-1,3,3)

Passo 3

Reescrevendo a reta s em forma paramétrica, fazemos
-3x-3=y-1=z-1=lambda
Então
y=1+lambda, z=1+lambda, -3x-3=lambda;Longrightarrow;x=-1-tfraclambda3
Isso mostra que s passa por
B=(-1,1,1)
e tem vetor diretor
v=l(-tfrac13,1,1r)
Para simplificar cálculos, usamos v'=3 v=(-1,3,3), que é paralelo a v.

Passo 4

As retas são paralelas (têm mesmo vetor diretor uparal<=l v'). Como são distintas, determinam um plano único. Para achar o vetor normal ao plano, escolhemos também o vetor
AB=B-A=(-1-1,;1-2,;1-3)=(-2,-1,-2),
que é contido no plano.

Passo 5

Calculamos o produto vetorial
n= utimesAB = (-1,3,3)times(-2,-1,-2) =(-3,-8,7)
Esse n é normal ao plano pi.

Passo 6

A equação vetorial do plano é
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0,
isto é,
(-3,-8,7)cdot(x-1,;y-2,;z-3)=0
Expandindo em forma geral:
-3(x-1)-8(y-2)+7(z-3)=0 ;Longrightarrow; -3x-8y+7z-2=0 ;Longrightarrow; 3x+8y-7z+2=0

Resposta

A equação geral do plano pi que contém r e s é
3x+8y-7z+2=0

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