Determine o ângulo entre a reta r:(x, y, z)=(6,7,0)+(1,1,0) t e o plano de equação vetorial pi:(x, y, z)= (8,-4,2)+(-1,0,2) t+(1,-2,0) h.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre a reta
r: (x,y,z)=(6,7,0)+(1,1,0),t
e o plano
pi: (x,y,z)=(8,-4,2)+(-1,0,2),t+(1,-2,0),h.
Esse problema é de geometria analítica em R^3. Para resolvê-lo, precisamos extrair o vetor diretor da reta, os vetores diretores do plano, obter o vetor normal do plano pelo produto vetorial e, em seguida, usar a fórmula que relaciona o ângulo entre reta e plano com esses vetores.

Passo 2

O vetor diretor da reta é
v = (1,1,0)
Os vetores diretores do plano são
u = (-1,0,2), w = (1,-2,0)

Passo 3

O vetor normal do plano pi é dado pelo produto vetorial n = u times w. Calculando,
n = i & j & k -1 & 0 & 2 1 & -2 & 0 = l(0cdot0 - 2cdot(-2),; -l(-1cdot0 - 2cdot1r),; -1cdot(-2) - 0cdot1r) = (4,;2,;2)

Passo 4

O ângulo alpha entre a reta e o plano satisfaz
sinalpha = l|v cdot nr||v|:|n|
Calculamos cada termo:
v cdot n = (1,1,0)cdot(4,2,2) = 4+2+0 = 6, |v| = raiz1^2+1^2+0^2 = raiz2, |n| = raiz4^2+2^2+2^2 = raiz24 = 2raiz6
Logo,
sinalpha = 6raiz2,cdot2raiz6 = 62raiz12 = 3raiz12 = 32raiz3 = raiz32

Passo 5

Como sinalpha = tfracraiz32, segue que
alpha = 60^circ

Resposta

60^circ

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