(3,0) Considere as retas
l r: X=(1,2,3)+de<a(-1,3,3) s:-3 x-3=y-1=z-1
Determine a posição relativa entre r e s;

Passo 1

O enunciado pede para classificar a posição relativa de duas retas em R^3, ou seja, decidir se elas são concorrentes (intersectam), paralelas (ou coincidentes) ou reversas (skew). Para isso, vamos extrair a forma paramétrica de cada reta, obter seus vetores diretores e depois verificar se elas coincidem ou não.

Passo 2

A reta r já está em forma paramétrica:
r:;X = (1,2,3) + de<a,(-1,3,3)
Dessa forma o vetor diretor de r é
vr = (-1,3,3)

Passo 3

A reta s está em forma simétrica:
-3x - 3 ;=; y - 1 ;=; z - 1
Chamando esse valor comum de t, temos
-3x - 3 = t ;Longrightarrow; x = -1 - tfract3, y - 1 = t ;Longrightarrow; y = 1 + t, z - 1 = t ;Longrightarrow; z = 1 + t
Logo uma forma paramétrica de s é
s:;X = (-1,1,1) + tl(-tfrac13,1,1r)
Multiplicando o vetor diretor por 3, vemos que
vs = l(-tfrac13,1,1r) é colinear a (-1,3,3) é
Portanto vs e vr são colineares, ou seja, as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Para decidir entre “coincidentes” e “paralelas distintas”, basta ver se um ponto de r pertence a s. Escolhendo o ponto (1,2,3)in r, substituímos em
-3x - 3, y - 1, z - 1:
-3cdot1 - 3 = -6, 2 - 1 = 1, 3 - 1 = 2
Como -6neq1neq2, o ponto (1,2,3) não está em s. Logo as retas não coincidem.

Resposta

As retas r e s são paralelas e distintas.

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