Mostre que os planos b x-a y=n, c y-b z=1 e a z-c x=m se interceptam numa reta se e somente se a l+b m+c n=0.

Passo 1

Temos três planos em R^3:
P1:;b x - a y = n,
P2:;c y - b z = l,
P3:;a z - c x = m
O objetivo é achar a condição para que P1cap P2cap P3 seja uma reta. O conteúdo usado será Álgebra Linear: interseção de planos vista como sistema linear, dependência dos vetores normais e condição de consistência.

Passo 2

Calculemos os vetores normais:
N1=(b,,-a,,0), N2=(0,,c,,-b), N3=(-c,,0,,a)
Para que três planos se intersectem numa reta, seus normais devem ser linearmente dependentes. Vamos achar escalares alpha,beta,gamma não todos nulos tais que
alpha N1+beta N2+gamma N3=(0,0,0)
Escolhemos alpha=c, beta=a, gamma=b. Então
c,N1=(bc,,-ac,,0), a,N2=(0,,ac,,-ab), b,N3=(-bc,,0,,ab),
e somando vemos que todos os componentes se cancelam:
c,N1 + a,N2 + b,N3 = (0,0,0)
Logo os normais são LD e a solução comum tem dimensão >=1.

Passo 3

Para que essa solução de dimensão >=1 seja exatamente uma reta e não seja vazia, o sistema deve ser consistente. Multiplicamos cada equação pelos mesmos escalares e somamos:
c,(b x - a y) ;+; a,(c y - b z);+; b,(a z - c x) =;0cdot x+0cdot y+0cdot z=0
Do lado direito obtemos
c,n + a,l + b,m
Logo a combinação dá
0 = c,n + a,l + b,m

Passo 4

Concluímos que os três planos têm interseção não–vazia de dimensão 1 (isto é, uma reta) se e somente se
c,n + a,l + b,m = 0
Reescrevendo na forma pedida:
a,l + b,m + c,n = 0

Resposta

a,l + b,m + c,n = 0

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