Mostre que os planos
e
se interceptam numa reta se e somente se
.
Passo 1
Temos três planos em
:
O objetivo é achar a condição para que
seja uma reta. O conteúdo usado será Álgebra Linear: interseção de planos vista como sistema linear, dependência dos vetores normais e condição de consistência.
Passo 2
Calculemos os vetores normais:
Para que três planos se intersectem numa reta, seus normais devem ser linearmente dependentes. Vamos achar escalares
não todos nulos tais que
Escolhemos
,
,
. Então
e somando vemos que todos os componentes se cancelam:
Logo os normais são LD e a solução comum tem dimensão
.
Passo 3
Para que essa solução de dimensão
seja exatamente uma reta e não seja vazia, o sistema deve ser consistente. Multiplicamos cada equação pelos mesmos escalares e somamos:
Do lado direito obtemos
Logo a combinação dá
Passo 4
Concluímos que os três planos têm interseção não–vazia de dimensão 1 (isto é, uma reta) se e somente se
Reescrevendo na forma pedida: