Considere as retas
L_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=1+4 t \\\ y=2-3 t,-\infty<t<+\infty \\\ z=-2+t \end{array} \quad L_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=5-2 s \\\ y=-4+6 s,-\infty<s<+\infty \\\ z=7+2 s \end{array}\right.\right.
Elas são paralelas? Elas se intersectam?

Passo 1

O enunciado apresenta as retas
L_{1}:\begin{cases} x=1+4t,\\\ y=2-3t,\\\ z=-2+t, \end{cases}\quad L_{2}:\begin{cases} x=5-2s,\\\ y=-4+6s,\\\ z=7+2s, \end{cases}
com t,s\in\mathbb{R}. O conteúdo é geometria analítica no espaço: para saber se são paralelas, extraímos os vetores diretores; para saber se se intersectam, igualamos coordenadas e tentamos resolver o sistema.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores das retas:
\mathbf{v}_{1}=(4,\,-3,\,1) \quad\text{e}\quad \mathbf{v}_{2}=(-2,\,6,\,2).

Passo 3

Para serem paralelas, deve existir escalar k tal que \mathbf{v}_{2}=k\,\mathbf{v}_{1}. Comparando componentes:
k=-\tfrac{2}{4}=-\tfrac12,\quad k=\tfrac{6}{-3}=-2,\quad k=\tfrac{2}{1}=2.
Como não há um mesmo k que funcione em todas as três componentes, concluímos que as retas não são paralelas.

Passo 4

Para testar interseção, igualamos coordenadas e montamos o sistema
1+4t=5-2s,\quad 2-3t=-4+6s,\quad -2+t=7+2s.
Das duas primeiras equações temos
4t+2s=4\;\Rightarrow\;s=2-2t.
Substituindo na terceira:
-2+t =7+2(2-2t) \;\Rightarrow\; t-2=7+4-4t \;\Rightarrow\; 5t=13 \;\Rightarrow\; t=\tfrac{13}{5},\; s=-\tfrac{16}{5}.
Com esses valores, a segunda equação dá
2-3t = 2-3\cdot\tfrac{13}{5} = -\tfrac{29}{5},
enquanto
-4+6s = -4+6\Bigl(-\tfrac{16}{5}\Bigr) = -\tfrac{116}{5}.
Como -29/5\neq -116/5, não há solução comum e, portanto, as retas não se intersectam.

Resposta

Elas não são paralelas e não se intersectam (são reversas).

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