Use o teste de comparação no limite para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right);

Passo 1

O enunciado nos dá a série \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)
e pede para usar o teste de comparação no limite. O conteúdo necessário é o comportamento assintótico de \sin x quando x\to0 e a divergência da série harmônica \sum1/n.

Passo 2

Definimos
a_n = \sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) \quad\text{e}\quad b_n = \frac{1}{n}.
Para n grande, \tfrac{1}{n}\to0, e pelo desenvolvimento de Taylor em torno de 0 temos \sin x\sim x. Logo
a_n = \sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\sim \tfrac{1}{n} = b_n.

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação no limite, calculando
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\tfrac{1}{n}} = 1.
Como 0< L<+\infty e sabemos que \displaystyle\sum b_n=\sum\frac{1}{n} é divergente (série harmônica), concluímos que \displaystyle\sum a_n também é divergente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) diverge.

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