Use o teste de comparação no limite para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} e^{-n};

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série \r
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} e^{-n} \r
é convergente ou divergente usando o teste de comparação no limite. O conteúdo necessário é aplicar o teste de comparação no limite para séries de termos positivos.

Passo 2

Escolhemos como série de comparação \sum_{n=1}^{+\infty}b_n com \r
b_n = e^{-n}. \r
Essa é uma série geométrica de razão r = e^{-1}, e como \lvert r\rvert < 1, sabemos que \sum b_n converge.

Passo 3

Definimos \r
a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} e^{-n} \r
e calculamos o limite \r
\begin{aligned}\r L &= \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}\r = \lim_{n\to+\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} e^{-n}}{e^{-n}}\\\ &= \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}\r = 1.\r \end{aligned}

Passo 4

Como 0 < L < \infty e a série \sum b_n converge, o teste de comparação no limite garante que a série \sum a_n também é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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