Considere as retas
r:\left\{\begin{array}{c}x=1-2 t \\\ y=1+t \\\ z=2-t\end{array} \quad\right. e \quad s:=\frac{x+2}{4}: y=\frac{z+1}{2}
E os planos
\pi_{1}: x-y+z-1=0 \quad \text { e } \quad \pi_{2}: x+y+z-2=0
Calcule a distância entre o ponto \mathrm{C}(-1,1,-2) e a reta r

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
r:\begin{cases} x = 1 - 2t,\\\ y = 1 + t,\\\ z = 2 - t \end{cases}
e o ponto C(-1,1,-2). Queremos calcular a distância de C a r. O conteúdo principal aqui é geometria no espaço: usamos a fórmula da distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3, que diz
d = \frac{\big\|(\overrightarrow{P_0C})\times \mathbf{v}\big\|}{\|\mathbf{v}\|},
onde P_0 é um ponto qualquer da reta e \mathbf{v} é o vetor diretor.

Passo 2

Escolhemos t=0 para achar um ponto P_0 na reta r. Substituindo em
x = 1-2t,\;y=1+t,\;z=2-t
quando t=0 obtemos
P_0 = (1,1,2).
O vetor diretor \mathbf{v} de r é formado pelos coeficientes de t, ou seja,
\mathbf{v} = (-2,\,1,\,-1).

Passo 3

Formamos o vetor \overrightarrow{P_0C} indo de P_0 a C:
\overrightarrow{P_0C} = C - P_0 = (-1-1,\;1-1,\;-2-2) = (-2,\,0,\,-4).

Passo 4

Calculamos o produto vetorial \overrightarrow{P_0C}\times \mathbf{v}. Usando a regra de Sarrus,
\overrightarrow{P_0C}\times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -2 & 0 & -4 \\\\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \bigl(0\cdot(-1)-(-4)\cdot1,\;-(-2\cdot(-1)-(-4)\cdot(-2)),\;-2\cdot1-0\cdot(-2)\bigr).
Isso dá
\overrightarrow{P_0C}\times \mathbf{v} = (4,\;6,\;-2).

Passo 5

Agora precisamos das normas. Primeiro,
\big\|\overrightarrow{P_0C}\times \mathbf{v}\big\| = \sqrt{4^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 36 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}.
Em seguida,
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}.
Aplicando a fórmula da distância:
d = \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{6}}.

Passo 6

Basta simplificar
\frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{6}} =2\sqrt{\frac{14}{6}} =2\sqrt{\frac{7}{3}} =\frac{2\sqrt{21}}{3}.

Resposta

\frac{2\sqrt{21}}{3}

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