Considere as retas r:\left\{\begin{array}{c}x=1-2 t \\\ y=1+t \\\ z=2-t\end{array} \quad\right. e \quad s:=\frac{x+2}{4}: y=\frac{z+1}{2}
E os planos
\pi_{1}: x-y+z-1=0 \quad \text { e } \quad \pi_{2}: x+y+z-2=0
Calcule a distância entre o ponto \mathrm{C}(-1,1,-2) e a reta r
Passo 1
O enunciado nos dá a reta
r:\begin{cases} x = 1 - 2t,\\\ y = 1 + t,\\\ z = 2 - t \end{cases}
e o ponto C(-1,1,-2). Queremos calcular a distância de C a r. O conteúdo principal aqui é geometria no espaço: usamos a fórmula da distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3, que diz
d = \frac{\big\|(\overrightarrow{P_0C})\times \mathbf{v}\big\|}{\|\mathbf{v}\|},
onde P_0 é um ponto qualquer da reta e \mathbf{v} é o vetor diretor.
Passo 2
Escolhemos t=0 para achar um ponto P_0 na reta r. Substituindo em
x = 1-2t,\;y=1+t,\;z=2-t
quando t=0 obtemos
P_0 = (1,1,2).
O vetor diretor \mathbf{v} de r é formado pelos coeficientes de t, ou seja,
\mathbf{v} = (-2,\,1,\,-1).
Passo 3
Formamos o vetor \overrightarrow{P_0C} indo de P_0 a C:
\overrightarrow{P_0C} = C - P_0 = (-1-1,\;1-1,\;-2-2) = (-2,\,0,\,-4).
Passo 4
Calculamos o produto vetorial \overrightarrow{P_0C}\times \mathbf{v}. Usando a regra de Sarrus,