Considere as retas
r:\left\{\begin{array}{c}x=1-2 t \\\ y=1+t \\\ z=2-t\end{array} \quad\right. e \quad s:=\frac{x+2}{4}: y=\frac{z+1}{2}
E os planos
\pi_{1}: x-y+z-1=0 \quad \text { e } \quad \pi_{2}: x+y+z-2=0
Calcule a distância entre as retas r e s

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço
r:\;(x,y,z)=(1,1,2)+t\,(-2,1,-1)
e
s:\;\frac{x+2}{4}=y=\frac{z+1}{2}=k,
além de dois planos que não serão usados para calcular a distância entre r e s.
O conteúdo é geometria vetorial em \mathbb{R}^3: vamos usar a fórmula da distância entre retas não paralelas e não concorrentes, que envolve vetores diretores e produto vetorial.

Passo 2

Identificar um ponto e o vetor diretor de cada reta.
Para r basta tomar t=0:
\mathbf{p_r}=(1,1,2), \mathbf{d_r}=(-2,1,-1).
Para s interpretamos
\frac{x+2}{4}=y=\frac{z+1}{2}=k
e obtemos
\mathbf{p_s}=(-2,0,-1), \mathbf{d_s}=(4,1,2).

Passo 3

Calcular o produto vetorial \mathbf{d_r}\times\mathbf{d_s}:
\mathbf{d_r}\times\mathbf{d_s} =(-2,1,-1)\times(4,1,2) =(3,0,-6).
A norma é
\|\mathbf{d_r}\times\mathbf{d_s}\|=\sqrt{3^2+0^2+(-6)^2} =3\sqrt{5}.

Passo 4

Formar o vetor entre pontos
\mathbf{p_r}-\mathbf{p_s}=(1,1,2)-(-2,0,-1)=(3,1,3)
e calcular o valor absoluto do produto escalar com o produto vetorial:
\bigl|\!(\mathbf{p_r}-\mathbf{p_s})\cdot(\mathbf{d_r}\times\mathbf{d_s})\bigr| =|(3,1,3)\cdot(3,0,-6)| =|9-18| =9.

Passo 5

Aplicar a fórmula da distância entre retas em \mathbb{R}^3:
\mathrm{dist}(r,s) =\frac{\bigl|(\mathbf{p_r}-\mathbf{p_s})\cdot(\mathbf{d_r}\times\mathbf{d_s})\bigr|}{\|\mathbf{d_r}\times\mathbf{d_s}\|} =\frac{9}{3\sqrt{5}} =\frac{3}{\sqrt{5}} =\frac{3\sqrt{5}}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{5}

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