Considere as retas r:\left\{\begin{array}{c}x=1-2 t \\\ y=1+t \\\ z=2-t\end{array} \quad\right. e \quad s:=\frac{x+2}{4}: y=\frac{z+1}{2}
E os planos
\pi_{1}: x-y+z-1=0 \quad \text { e } \quad \pi_{2}: x+y+z-2=0
Calcule a distância entre as retas r e s
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço r:\;(x,y,z)=(1,1,2)+t\,(-2,1,-1)
e
s:\;\frac{x+2}{4}=y=\frac{z+1}{2}=k,
além de dois planos que não serão usados para calcular a distância entre r e s.
O conteúdo é geometria vetorial em \mathbb{R}^3: vamos usar a fórmula da distância entre retas não paralelas e não concorrentes, que envolve vetores diretores e produto vetorial.
Passo 2
Identificar um ponto e o vetor diretor de cada reta.
Para r basta tomar t=0: \mathbf{p_r}=(1,1,2), \mathbf{d_r}=(-2,1,-1).
Para s interpretamos
\frac{x+2}{4}=y=\frac{z+1}{2}=k
e obtemos \mathbf{p_s}=(-2,0,-1), \mathbf{d_s}=(4,1,2).
Passo 3
Calcular o produto vetorial \mathbf{d_r}\times\mathbf{d_s}: