Considere as retas
r:\left\{\begin{array}{c}x=1-2 t \\\ y=1+t \\\ z=2-t\end{array} \quad\right. e \quad s:=\frac{x+2}{4}: y=\frac{z+1}{2}
E os planos
\pi_{1}: x-y+z-1=0 \quad \text { e } \quad \pi_{2}: x+y+z-2=0
Calcule a distância entre o ponto \mathrm{B}(1,-1,1) e o plano \pi_{2}

Passo 1

O enunciado pede a distância entre o ponto B(1,-1,1) e o plano \pi_{2}:x+y+z-2=0. O conteúdo envolvido é a fórmula da distância de um ponto a um plano em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Escrevendo a equação geral do plano como
a x + b y + c z + d = 0,
identificamos para \pi_{2}:
a=1, b=1, c=1 e d=-2.

Passo 3

A fórmula da distância D do ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) ao plano a x + b y + c z + d=0 é
D = \frac{\bigl|a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d\bigr|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}.
Aqui temos x_{0}=1, y_{0}=-1 e z_{0}=1.

Passo 4

Calculamos o numerador:
a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d = 1\cdot1 + 1\cdot(-1) + 1\cdot1 - 2 = 1 - 1 + 1 - 2 = -1,
logo \bigl|-1\bigr|=1.
O denominador é
\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}} = \sqrt{3}.

Resposta

\frac{1}{\sqrt{3}}.

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