Usando a regra de Cramer, encontre a intersecção entre os planos:
\left\{\begin{array}{l} x-y+z=1 \\\ x+y+z=2 \\\ x-y-z=0 \end{array}\right.

Passo 1

Temos o sistema
\begin{cases} x - y + z = 1,\\\ x + y + z = 2,\\\ x - y - z = 0, \end{cases}
que é um sistema linear 3\times3. Pelo método de Cramer, sejam
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}.
Vamos calcular \det(A) e os determinantes das matrizes obtidas trocando cada coluna de A por \mathbf{b}.

Passo 2

Calcular \det(A):
\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 1\cdot\begin{vmatrix}1 & 1\\\ -1 & -1\end{vmatrix} -(-1)\cdot\begin{vmatrix}1 & 1\\\ 1 & -1\end{vmatrix} +1\cdot\begin{vmatrix}1 & 1\\\ 1 & -1\end{vmatrix}.
Calculando cada menor:
\begin{vmatrix}1 & 1\\\ -1 & -1\end{vmatrix}=0, \quad \begin{vmatrix}1 & 1\\\ 1 & -1\end{vmatrix}=-2.
Logo
\det(A)=1\cdot0 -(-1)\cdot(-2)+1\cdot(-2)=0-2-2=-4.

Passo 3

Substituímos a primeira coluna de A por \mathbf{b} para obter A_x e seu determinante:
A_x=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \det(A_x) =\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} = -4.
Pela regra de Cramer,
x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-4}{-4} = 1.

Passo 4

Substituímos a segunda coluna de A por \mathbf{b} para obter A_y e seu determinante:
A_y=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \det(A_y) =\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -2.
Logo
y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-2}{-4} = \tfrac12.

Passo 5

Substituímos a terceira coluna de A por \mathbf{b} para obter A_z e seu determinante:
A_z=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 2\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \det(A_z) =\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 2\\\\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = -2.
Assim
z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)} = \frac{-2}{-4} = \tfrac12.

Resposta

(x,y,z) = \bigl(1,\tfrac12,\tfrac12\bigr).

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