Determinar a equação do plano \pi_{2} que passa pelos pontos \mathrm{P}=(0,0,1) e \mathrm{Q}=(0,0,0) e é paralelo ao vetor (1,1,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano \pi_{2} que passa pelos pontos
\mathrm{P}=(0,0,1) e \mathrm{Q}=(0,0,0) e é paralelo ao vetor (1,1,0).
Conteúdo: definição de plano em \mathbb{R}^3 dado por um ponto e dois vetores diretores, ou dada por um ponto e um vetor normal. Vamos usar os vetores \overrightarrow{PQ} e (1,1,0) como diretores e calcular o normal via produto vetorial.

Passo 2

Calcular o vetor \overrightarrow{PQ} que liga \mathrm{P} a \mathrm{Q}:
\overrightarrow{PQ} = \mathrm{Q} - \mathrm{P} = (0,0,0) - (0,0,1) = (0,0,-1).
Podemos usar (0,0,1) (multiplicação por -1) como vetor diretor equivalente.

Passo 3

Obter o vetor normal \mathbf{n} ao plano fazendo o produto vetorial entre os dois vetores diretores
(0,0,1) e (1,1,0):
\mathbf{n} = (0,0,1)\times(1,1,0) = \bigl|\begin{matrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 0&0&1\\\\ 1&1&0 \end{matrix}\bigr| = (-1,\;1,\;0).

Passo 4

Escrever a equação cartesiana do plano usando \mathbf{n} e um ponto, por exemplo \mathrm{Q}=(0,0,0):
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-\mathrm{Q}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad (-1,1,0)\cdot(x,y,z)=0
que dá
-1\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y - x = 0.

Passo 5

Verificar que \mathrm{P} e \mathrm{Q} satisfazem y-x=0:
em \mathrm{Q}=(0,0,0) obtemos 0-0=0 e em \mathrm{P}=(0,0,1) também 0-0=0. Além disso, o vetor (1,1,0) gera pontos com y=x, logo está no plano.

Resposta

A equação de \pi_{2} é
y - x = 0.

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