Determinar a equação do plano \pi_{2} que passa pelos pontos \mathrm{P}=(0,0,1) e \mathrm{Q}=(0,0,0) e é paralelo ao vetor (1,1,0).
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano \pi_{2} que passa pelos pontos \mathrm{P}=(0,0,1) e \mathrm{Q}=(0,0,0) e é paralelo ao vetor (1,1,0).
Conteúdo: definição de plano em \mathbb{R}^3 dado por um ponto e dois vetores diretores, ou dada por um ponto e um vetor normal. Vamos usar os vetores \overrightarrow{PQ} e (1,1,0) como diretores e calcular o normal via produto vetorial.
Passo 2
Calcular o vetor \overrightarrow{PQ} que liga \mathrm{P} a \mathrm{Q}:
-1\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y - x = 0.
Passo 5
Verificar que \mathrm{P} e \mathrm{Q} satisfazem y-x=0:
em \mathrm{Q}=(0,0,0) obtemos 0-0=0 e em \mathrm{P}=(0,0,1) também 0-0=0. Além disso, o vetor (1,1,0) gera pontos com y=x, logo está no plano.