Considere as retas r:\left\{\begin{array}{l}x=4+6 t \\\ y=-4 t \\\ z=2+2 t\end{array}\right. e s a reta que passa pelos pontos A(-2,5,1) e B(1,3,2).
Mostre que r // s e encontre uma equação geral para o plano que contém essas duas retas.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3\): a reta \(r\) em forma paramétrica \[r:\begin{cases} x=4+6t,\\\ y=-4t,\\\ z=2+2t, \end{cases}
e a reta s\] que passa pelos pontos \(A(-2,5,1) e B(1,3,2).
Queremos mostrar que r\parallel s e encontrar a equação geral do plano que contém ambas.
Conteúdo: geometria analítica no espaço – direções de retas, paralelismo e equação de plano.

Passo 2

Para cada reta extraímos seu vetor diretor.
O vetor diretor de r é
\vec v_r = (6,\,-4,\,2),
pois x=4+6t,\;y=-4t,\;z=2+2t.
O vetor diretor de s é
\vec v_s = \overrightarrow{AB} = (1-(-2),\,3-5,\,2-1) = (3,\,-2,\,1).
Note que \vec v_r = 2\,(3,-2,1)=2\,\vec v_s. Logo, \vec v_r e \vec v_s são paralelos, o que implica
r\parallel s.

Passo 3

Para determinar o plano que contém r e s, escolhemos um ponto em r, por exemplo P em t=0, ou seja P=(4,0,2), e o ponto A=(-2,5,1) em s.
O vetor que liga P a A é
\overrightarrow{PA}=A-P =(-2-4,\,5-0,\,1-2)=(-6,\,5,\,-1).
Como \vec v_r e \overrightarrow{PA} não são paralelos, seu produto vetorial nos dá um vetor normal ao plano:
\vec n = \vec v_r \times \overrightarrow{PA} = (6,-4,2)\times(-6,5,-1).
Calculando em coordenadas,
\vec n =\bigl(-4\cdot(-1)-2\cdot5,\;-\,\bigl(6\cdot(-1)-2\cdot(-6)\bigr),\;6\cdot5-(-4)\cdot(-6)\bigr) =(-6,\,-6,\,6).
Podemos simplificar para
\vec n = (1,\,1,\,-1).

Passo 4

A equação geral do plano com normal \vec n=(1,1,-1) que passa por P=(4,0,2) é
1\,(x-4)+1\,(y-0)-1\,(z-2)=0.
Desenvolvendo,
x-4+y-z+2=0 \quad\Longrightarrow\quad x+y-z-2=0.

Resposta

r\parallel s
Equação geral do plano:
x+y-z-2=0.

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