Considere as retas r:\left\{\begin{array}{l}x=4+6 t \\\ y=-4 t \\\ z=2+2 t\end{array}\right. e s a reta que passa pelos pontos A(-2,5,1) e B(1,3,2).
Mostre que r // s e encontre uma equação geral para o plano que contém essas duas retas.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3\):
a reta \(r\) em forma paramétrica
\[r:\begin{cases} x=4+6t,\\\ y=-4t,\\\ z=2+2t, \end{cases}
e a reta s\] que passa pelos pontos \(A(-2,5,1) e B(1,3,2).
Queremos mostrar que r\parallel s e encontrar a equação geral do plano que contém ambas.
Conteúdo: geometria analítica no espaço – direções de retas, paralelismo e equação de plano.
Passo 2
Para cada reta extraímos seu vetor diretor.
O vetor diretor de r é
\vec v_r = (6,\,-4,\,2),
pois x=4+6t,\;y=-4t,\;z=2+2t.
O vetor diretor de s é
Note que \vec v_r = 2\,(3,-2,1)=2\,\vec v_s. Logo, \vec v_r e \vec v_s são paralelos, o que implica
r\parallel s.
Passo 3
Para determinar o plano que contém r e s, escolhemos um ponto em r, por exemplo P em t=0, ou seja P=(4,0,2), e o ponto A=(-2,5,1) em s.
O vetor que liga P a A é