Determine um ponto
de coordenadas inteiras que pertença à reta interseção dos planos:
:
e
e cuja distância ao ponto
é 9 unidades de medida.
Passo 1
O enunciado dá duas equações de planos e um ponto
. O que se pede é: encontrar um ponto
com coordenadas inteiras tal que
pertença à reta interseção dos planos e a distância de
a
seja
. Informações dadas:
Pergunta: achar um ponto
com coordenadas inteiras que satisfaça ambas as equações dos planos (logo pertence à reta de interseção) e tal que
.
Passo 2
Vamos obter a reta interseção das duas superfícies. Primeiro, cabe lembrar que a reta interseção é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente as duas equações dos planos. Para descrevê-la é prático parametrizar as coordenadas (usar um parâmetro) e assim obter uma equação da reta. Vou resolver o sistema formado por
e
.
Somando as duas equações temos:
que simplifica para
Dessa relação obtemos
Agora substituímos em
, que é
. Substituindo
:
Isso dá
Portanto os pontos da interseção têm coordenadas expressas em função de um parâmetro
(vou usar
para o valor de
):
Em forma vetorial, a reta é
Observação importante: se
for inteiro, todas as coordenadas são inteiras (pois são combinações lineares inteiras de
e constantes inteiras). Isso facilita procurar pontos com coordenadas inteiras.
Passo 3
Antes de impor a condição da distância, é útil verificar o vetor diretor da reta. Derivando em relação a
(ou observando coeficientes) obtemos o vetor diretor
o que bate com o produto vetorial dos normais dos planos (chegaria ao mesmo vetor). Isso confirma a parametrização correta. Agora vamos impor a condição
.
Passo 4
Para calcular a distância eu uso a fórmula da distância euclidiana em
. Se
e
, então
É conveniente trabalhar com o quadrado da distância para evitar raízes:
. Aqui
e
. Então a condição
é equivalente a
Vou simplificar termo a termo. Primeiro note que
e
. Logo:
Passo 5
Agora expandimos e somamos os quadrados. Calcule cada termo:
Somando:
Agrupando coeficientes:
Isso dá
A igualdade com
é
Subtraindo
dos dois lados cancela o termo constante:
Fatorando
(ou simplesmente
):
Logo as soluções reais para
são
Passo 6
Agora interpretamos as soluções com respeito à exigência de coordenadas inteiras. Se
, então
que tem coordenadas inteiras. Se
, as coordenadas de
serão racionais mas não inteiras (por exemplo
não é inteiro), portanto essa solução não atende ao requisito de coordenadas inteiras. Assim o candidato válido é
.
Faço uma verificação rápida da distância para garantir que não houve erro de conta:
portanto
, ok.
Passo 7
Conclusão: o ponto
pertence à reta interseção de
e
, tem coordenadas inteiras e está a distância
de
. Não há outra solução com todas as coordenadas inteiras porque o outro parâmetro
que dá distância
não é inteiro.