Determine um ponto P de coordenadas inteiras que pertença à reta interseção dos planos: \pi_{1} : 3 x-4 y+z-3=0 e \pi_{2}: x+3 y-z=0 e cuja distância ao ponto Q(1,1,-1) é 9 unidades de medida.

Passo 1

O enunciado dá duas equações de planos e um ponto Q. O que se pede é: encontrar um ponto P com coordenadas inteiras tal que P pertença à reta interseção dos planos e a distância de P a Q seja 9. Informações dadas:
\pi_{1}:\;3x-4y+z-3=0,
\pi_{2}:\;x+3y-z=0,
Q(1,1,-1).
Pergunta: achar um ponto P com coordenadas inteiras que satisfaça ambas as equações dos planos (logo pertence à reta de interseção) e tal que \operatorname{dist}(P,Q)=9.

Passo 2

Vamos obter a reta interseção das duas superfícies. Primeiro, cabe lembrar que a reta interseção é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente as duas equações dos planos. Para descrevê-la é prático parametrizar as coordenadas (usar um parâmetro) e assim obter uma equação da reta. Vou resolver o sistema formado por \pi_{1} e \pi_{2}.
Somando as duas equações temos:
(3x-4y+z-3)+(x+3y-z)=3+0,
que simplifica para
4x-y=3.
Dessa relação obtemos
y=4x-3.
Agora substituímos em \pi_{2}, que é \;x+3y-z=0. Substituindo y=4x-3:
x+3(4x-3)-z=0 \quad\Rightarrow\quad x+12x-9-z=0.
Isso dá
13x-9-z=0 \quad\Rightarrow\quad z=13x-9.
Portanto os pontos da interseção têm coordenadas expressas em função de um parâmetro t (vou usar t para o valor de x):
x=t,\qquad y=4t-3,\qquad z=13t-9.
Em forma vetorial, a reta é
P(t)=(t,\;4t-3,\;13t-9).
Observação importante: se t for inteiro, todas as coordenadas são inteiras (pois são combinações lineares inteiras de t e constantes inteiras). Isso facilita procurar pontos com coordenadas inteiras.

Passo 3

Antes de impor a condição da distância, é útil verificar o vetor diretor da reta. Derivando em relação a t (ou observando coeficientes) obtemos o vetor diretor
\vec{v}=(1,4,13),
o que bate com o produto vetorial dos normais dos planos (chegaria ao mesmo vetor). Isso confirma a parametrização correta. Agora vamos impor a condição \operatorname{dist}(P(t),Q)=9.

Passo 4

Para calcular a distância eu uso a fórmula da distância euclidiana em \mathbb{R}^3. Se P=(x,y,z) e Q=(x_0,y_0,z_0), então
\operatorname{dist}(P,Q)=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}.
É conveniente trabalhar com o quadrado da distância para evitar raízes: \operatorname{dist}^2 = (x-x_0)^2+\cdots. Aqui Q(1,1,-1) e P(t)=(t,4t-3,13t-9). Então a condição \operatorname{dist}(P,Q)=9 é equivalente a
(t-1)^2+(4t-3-1)^2+(13t-9-(-1))^2=9^2.
Vou simplificar termo a termo. Primeiro note que 4t-3-1=4t-4 e 13t-9-(-1)=13t-8. Logo:
(t-1)^2+(4t-4)^2+(13t-8)^2=81.

Passo 5

Agora expandimos e somamos os quadrados. Calcule cada termo:
(t-1)^2=t^2-2t+1,
(4t-4)^2=16(t-1)^2=16t^2-32t+16,
(13t-8)^2=169t^2-208t+64.
Somando:
t^2-2t+1+16t^2-32t+16+169t^2-208t+64.
Agrupando coeficientes:
(1+16+169)t^2+(-2-32-208)t+(1+16+64).
Isso dá
186t^2-242t+81.
A igualdade com 81 é
186t^2-242t+81=81.
Subtraindo 81 dos dois lados cancela o termo constante:
186t^2-242t=0.
Fatorando 2t (ou simplesmente t):
2t(93t-121)=0.
Logo as soluções reais para t são
t=0 \quad\text{ou}\quad t=\frac{121}{93}.

Passo 6

Agora interpretamos as soluções com respeito à exigência de coordenadas inteiras. Se t=0, então
P(0)=(0,\;4\cdot 0-3,\;13\cdot 0-9)=(0,-3,-9),
que tem coordenadas inteiras. Se t=\dfrac{121}{93}, as coordenadas de P serão racionais mas não inteiras (por exemplo x=t não é inteiro), portanto essa solução não atende ao requisito de coordenadas inteiras. Assim o candidato válido é P=(0,-3,-9).
Faço uma verificação rápida da distância para garantir que não houve erro de conta:
\operatorname{dist}^2 = (0-1)^2+(-3-1)^2+(-9-(-1))^2 = 1+(-4)^2+(-8)^2 = 1+16+64=81,
portanto \operatorname{dist}=9, ok.

Passo 7

Conclusão: o ponto P(0,-3,-9) pertence à reta interseção de \pi_{1} e \pi_{2}, tem coordenadas inteiras e está a distância 9 de Q(1,1,-1). Não há outra solução com todas as coordenadas inteiras porque o outro parâmetro t que dá distância 9 não é inteiro.

Resposta

P(0,-3,-9)

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