Determine se o conjunto de vetores de R^2 são LI ou LD:
S=(-1,2),(2,-1),(1,1)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = (-1,2),,(2,-1),,(1,1)subset R^2
e pede para decidir se esses vetores são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Lembrando que vetores v1,dots,vk são LI se a única solução de
c1v1 + cdots + ckvk = 0
é c1=cdots=ck=0; caso contrário, são LD. Além disso, como dim(R^2)=2, qualquer conjunto com mais de 2 vetores em R^2 é automaticamente LD.

Passo 2

Aqui S tem 3 vetores e dim(R^2)=2. Pelo teorema da dimensão, todo conjunto com mais vetores do que a dimensão do espaço é linearmente dependente. Logo, sem cálculos adicionais, S é LD.

Passo 3

Para ilustrar, exibimos uma combinação não trivial. Denotemos
Procuramos escalares
Isso gera o sistema
Subtraindo a primeira equação da segunda vem . Substituindo em . Tomando obtemos e , e de fato
o que mostra explicitamente a dependência linear.

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente.

Exercícios relacionados