Q9: Considere as retas \mathrm{cm} \mathbb{R}^{2} :
\begin{gathered} {\left[\begin{array}{r} -6 \\\\ 12 \end{array}\right]+\text { spana }\left\{\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -4 \end{array}\right]\right\} .} \\\ \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:-2 x-2 y=-6\right\} . \end{gathered}
Calcule o ponto ( x, y ) em que estas duas retas se interceptam.
O valor da entrada x é:
(A) -10
(B) -9
(C) -8
(D) -7
(E) -6
(F) -5

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^2: a primeira em forma paramétrica e a segunda em forma implícita. O conteúdo é interseção de retas em geometria analítica. Para resolver, vamos obter a representação paramétrica da primeira reta, simplificar a equação da segunda reta e igualar para encontrar o parâmetro de interseção.

Passo 2

A primeira reta é
(x,y) = \begin{pmatrix}-6\\\ 12\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\\ -4\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R},
ou seja
x = -6 + t,\quad y = 12 - 4t.

Passo 3

A segunda reta é dada por
-2x - 2y = -6.
Dividindo ambos os lados por -2, obtemos
x + y = 3.

Passo 4

Substituímos x e y da reta paramétrica na equação x+y=3:
(-6 + t) + (12 - 4t) = 3.
Resolvendo,
6 - 3t = 3 \quad\Longrightarrow\quad -3t = -3 \quad\Longrightarrow\quad t = 1.

Passo 5

Com t=1, o ponto de interseção é
x = -6 + 1 = -5, \quad y = 12 -4 = 8.

Passo 6

A coordenada x do ponto de interseção é -5, que corresponde à alternativa (F).

Resposta

(F)

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