Q10: Considere as afirmativas abaixo:
I - Seja
. Se
for linearmente dependente, então podese afirmar que
não gera
.
II - Se
é subespaço vetorial de
, então pode-se afirmar que
.
(A) Todas sĩo falsas.
(B) Apenas Ié verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas sāo verdadeiras.
I - Seja
II - Se
(A) Todas sĩo falsas.
(B) Apenas Ié verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas sāo verdadeiras.
Passo 1
O enunciado está em Álgebra Linear e trata de dois pontos: (I) um conjunto
e a questão de gerar
quando
é linearmente dependente; (II) a relação entre
e
quando
é subespaço de
. Vamos usar a definição de dependência linear, geração (span) e dimensão de subespaços para avaliar cada afirmativa.
Passo 2
Para a afirmativa I: dizer que
é linearmente dependente significa que um está “sobre” o outro, logo
é uma reta em
. Mas o conjunto
ainda contém
. Se
não estiver nessa reta, então
e
serão linearmente independentes e geram todo
. Assim, não é verdade que sempre que
for dependente então
não gera
. Logo, I é falsa.
Passo 3
Para a afirmativa II: toda vez que
é subespaço de
temos
Mas somente se
for subespaço próprio (i.e.\
) ocorre
. Como o enunciado não exige
, podemos ter
e então
, contrariando a afirmação estrita. Logo, II também é falsa.
Passo 4
Concluímos que ambas as afirmativas I e II são falsas.
Resposta
(A) Todas são falsas.