Q10: Considere as afirmativas abaixo:
I - Seja \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{2}. Se \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\} for linearmente dependente, então podese afirmar que \beta não gera \mathbb{R}^{2}.
II - Se H é subespaço vetorial de V, então pode-se afirmar que \operatorname{dim}(H)<\operatorname{dim}(V).
(A) Todas sĩo falsas.
(B) Apenas Ié verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas sāo verdadeiras.

Passo 1

O enunciado está em Álgebra Linear e trata de dois pontos: (I) um conjunto \beta=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}\subset\mathbb{R}^2 e a questão de gerar \mathbb{R}^2 quando \{\vec v_1,\vec v_2\} é linearmente dependente; (II) a relação entre \dim(H) e \dim(V) quando H é subespaço de V. Vamos usar a definição de dependência linear, geração (span) e dimensão de subespaços para avaliar cada afirmativa.

Passo 2

Para a afirmativa I: dizer que \{\vec v_1,\vec v_2\} é linearmente dependente significa que um está “sobre” o outro, logo
\Span\{\vec v_1,\vec v_2\}
é uma reta em \mathbb{R}^2. Mas o conjunto \beta ainda contém \vec v_3. Se \vec v_3 não estiver nessa reta, então \vec v_1 e \vec v_3 serão linearmente independentes e geram todo \mathbb{R}^2. Assim, não é verdade que sempre que \{\vec v_1,\vec v_2\} for dependente então \beta não gera \mathbb{R}^2. Logo, I é falsa.

Passo 3

Para a afirmativa II: toda vez que H é subespaço de V temos
\dim(H)\le\dim(V).
Mas somente se H for subespaço próprio (i.e.\ H\neq V) ocorre \dim(H)<\dim(V). Como o enunciado não exige H\neq V, podemos ter H=V e então \dim(H)=\dim(V), contrariando a afirmação estrita. Logo, II também é falsa.

Passo 4

Concluímos que ambas as afirmativas I e II são falsas.

Resposta

(A) Todas são falsas.

Exercícios relacionados