Considere as retas
& r:(x, y, z)=(7,2,-2)+t(-3,0,1) & s:(x, y, z)=(-1,1,2)+s(2,1,-2)
(a) Mostre que r e s são concorrentes calculando o ponto P=r cap s.
(b) Determine a equação geral do plano que contém r e s.
(c) Calcule ang (r, s) (Se as retas se interceptam, então elas determinam quatro ângulos, dois a dois opostos pelo vértice. O ângulo entre elas é definido como sendo o menor destes ângulos).

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica em R^3:
r:;(x,y,z)=(7,2,-2)+t,(-3,0,1),
s:;(x,y,z)=(-1,1,2)+s,(2,1,-2)
O conteúdo envolvido é:
– achar a interseção de duas retas em 3D resolvendo parâmetros;
– obter a equação geral do plano determinado por duas retas concorrentes, usando produto vetorial para achar o vetor normal;
– calcular o ângulo entre as retas via produto escalar dos vetores diretores.

Passo 2

Para P=rcap s igualamos componentes:
7-3t = -1+2s, 2 = 1+s, -2+t = 2-2s
Da segunda equação vem s=1. Substituindo na primeira:
7-3t = -1+2cdot1 =1 Longrightarrow 3t=6 Longrightarrow t=2
Verificando na terceira:
-2+2 = 0 e 2 -2cdot1 =0,
logo é consistente. Assim
P = r(2) = l(7-3cdot2,;2,;-2+2r) = (1,2,0)

Passo 3

Os vetores diretores são
u=(-3,0,1) e v=(2,1,-2).
O vetor normal ao plano é
n = utimesv = i & j & k [6pt] -3 & 0 & 1 [3pt] 2 & 1 & -2 = (-1,-4,-3),
que podemos multiplicar por -1 e usar (1,4,3). A equação do plano que passa por P=(1,2,0) é
1,(x-1) +4,(y-2) +3,(z-0) = 0 Longrightarrow x+4y+3z-9=0 ]

Passo 4

Para o ângulo usamos
costheta = dfrac|ucdotv||u|;|v|
Calculamos
ucdotv = (-3)cdot2 + 0cdot1 + 1cdot(-2) = -8,
|u| = raiz(-3)^2+0^2+1^2 = raiz10, |v| = raiz2^2+1^2+(-2)^2 = 3
Logo
costheta = |-8|raiz10,3 = 83raiz10,
e
theta = arccos!l(tfrac83raiz10r)approx 32,6^circ

Resposta

(a) P=(1,2,0)
(b) x+4y+3z-9=0
(c) theta=arccos!l(83raiz10r)approx32,6^circ

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