Considere as retas r: k x-(k+2) y=2 e s : k y-x=3 k. Determine k de modo que r e s sejam:
(a) concorrentes
(b) paralelas
(c) coincidentes

Passo 1

O enunciado dá duas retas dependentes de k:
r:;k,x - (k+2),y = 2
s:;k,y - x = 3k
Queremos achar para quais valores de k elas são
(a) concorrentes (intersectam em um ponto único),
(b) paralelas (mesmo coeficiente angular, mas distintas),
(c) coincidentes (a mesma reta).
Para isso vamos primeiro escrever cada reta em forma de coeficiente angular, compará-los para achar paralelismo, e depois verificar a coincidência pelos coeficientes.

Passo 2

Escrevemos cada reta em forma y = m,x + b.
Para r:
k,x - (k+2),y = 2 Longrightarrow -(k+2),y = -k,x + 2 Longrightarrow y = k,k+2,,x ;-;2,k+2,
Logo o coeficiente angular de r é
mr = k,k+2,
Para s:
k,y - x = 3k Longrightarrow k,y = x + 3k Longrightarrow y = 1k,x + 3
Logo o coeficiente angular de s é
ms = 1k

Passo 3

Retas são paralelas se e somente se mr = ms e não são coincidentes. Igualando:
k,k+2, ;=;1k Longrightarrow k^2 = k + 2 Longrightarrow k^2 - k - 2 = 0 Longrightarrow (k-2)(k+1) = 0
Assim as soluções são k = 2 ou k = -1. Para esses valores temos linhas com o mesmo coeficiente angular, e como veremos a seguir, diferentes termos constantes, logo são paralelas.

Passo 4

Para serem coincidentes é preciso, além de terem o mesmo coeficiente angular, que também sejam proporcionais os termos independentes. Em termos dos coeficientes da forma
r:;k,x - (k+2),y - 2 = 0, s:;-x + k,y - 3k = 0,
existe lambdaneq0 tal que
(k,;-(k+2),;-2) ;=;lambda,l(-1,;k,;-3kr)
Da primeira componente vem lambda = -k. Da segunda:
-(k+2) = lambda,k = -k^2 Longrightarrow k^2 - k - 2 = 0 Longrightarrow k = 2 ou k = -1
Mas da terceira componente precisaríamos
-2 = lambda,(-3k) = (-k)(-3k) = 3k^2,
i.e.\ 3k^2 = -2, que não tem solução real.
Logo não há nenhum k real que torne as duas equações exatamente a mesma reta.

Resposta

(a) r e s são concorrentes para todo kinR exceto k=2 e k=-1.
(b) r e s são paralelas para k=2 ou k=-1.
(c) Não existe valor real de k que torne r e s coincidentes.

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