Considere as retas
e s :
. Determine
de modo que
e s sejam:
(a) concorrentes
(b) paralelas
(c) coincidentes
(a) concorrentes
(b) paralelas
(c) coincidentes
Passo 1
O enunciado dá duas retas dependentes de
:
Queremos achar para quais valores de
elas são
(a) concorrentes (intersectam em um ponto único),
(b) paralelas (mesmo coeficiente angular, mas distintas),
(c) coincidentes (a mesma reta).
Para isso vamos primeiro escrever cada reta em forma de coeficiente angular, compará-los para achar paralelismo, e depois verificar a coincidência pelos coeficientes.
(a) concorrentes (intersectam em um ponto único),
(b) paralelas (mesmo coeficiente angular, mas distintas),
(c) coincidentes (a mesma reta).
Para isso vamos primeiro escrever cada reta em forma de coeficiente angular, compará-los para achar paralelismo, e depois verificar a coincidência pelos coeficientes.
Passo 2
Escrevemos cada reta em forma
.
Para :
Para
Logo o coeficiente angular de
é
Para
:
Logo o coeficiente angular de
é
Passo 3
Retas são paralelas se e somente se
e não são coincidentes. Igualando:
Assim as soluções são
ou
. Para esses valores temos linhas com o mesmo coeficiente angular, e como veremos a seguir, diferentes termos constantes, logo são paralelas.
Passo 4
Para serem coincidentes é preciso, além de terem o mesmo coeficiente angular, que também sejam proporcionais os termos independentes. Em termos dos coeficientes da forma
existe
tal que
Da primeira componente vem
. Da segunda:
Mas da terceira componente precisaríamos
i.e.\
, que não tem solução real.
Logo não há nenhum real que torne as duas equações exatamente a mesma reta.
Logo não há nenhum
Resposta
(a)
e
são concorrentes para todo
exceto
e
.
(b) e
são paralelas para
ou
.
(c) Não existe valor real de que torne
e
coincidentes.
(b)
(c) Não existe valor real de