Esboce as seguintes superfícies
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a superfície dada por
\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} + z^{2} = 1.
O conteúdo da matéria é superfícies quádricas em \mathbb{R}^3, e vamos reconhecer o tipo de superfície e seus parâmetros principais para desenhar o esboço.

Passo 2

Repare que todos os termos em x^{2}, y^{2} e z^{2} aparecem somados e divididos por constantes positivas de modo a resultar em 1. Essa é a forma canônica de um elipsoide centrado na origem.

Passo 3

Na forma
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1
os comprimentos dos semieixos são a, b e c. Comparando, temos
a^{2}=9,\quad b^{2}=4,\quad c^{2}=1
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a=3,\quad b=2,\quad c=1.

Passo 4

Os pontos de interseção com os eixos coordenados vêm de anular duas variáveis de cada vez. Assim obtemos os pontos
(\pm3,0,0),\quad (0,\pm2,0),\quad (0,0,\pm1).

Passo 5

Para ajudar no esboço, olhe as seções planas:
Em z=0 a curva é
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1,
uma elipse no plano xy.
Em y=0 a curva é
\frac{x^{2}}{9}+z^{2}=1,
uma elipse no plano xz.
Em x=0 a curva é
\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1,
uma elipse no plano yz.
Traçando essas elipses e ligando-as suavemente, obtemos o esboço do elipsoide.

Resposta

A superfície é um elipsoide centrado na origem com semieixos de comprimentos 3, 2 e 1 ao longo dos eixos x, y e z, interceptando-os em (\pm3,0,0), (0,\pm2,0) e (0,0,\pm1).

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