Determinar uma equação geral para o plano que passa pelo ponto A(2,3,4) e é perpendicular a interseção dos planos pi1: 3 x+y+6 z+13=0 e pi2: 3 x+3 y+5 z=0. (valor: 1,5 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e que é perpendicular à linha de interseção dos planos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos e . O vetor normal de um plano é o vetor formado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
  • Para : O vetor normal é .
  • Para : O vetor normal é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a direção da linha de interseção dos planos d = n1 times n2 = i & j & k 3 & 1 & 6 3 & 3 & 5 e d = ( (1 cdot 5) - (6 cdot 3) )i - ( (3 cdot 5) - (6 cdot 3) )j + ( (3 cdot 3) - (1 cdot 3) )k . Essa direção é dada pelo produto vetorial dos vetores normais d = (5 - 18)i - (15 - 18)j + (9 - 3)k = (-13, 3, 6) e .
Calculando o produto vetorial:
Então, a direção da linha de interseção é .

Passo 4

Como o plano que queremos encontrar é perpendicular a essa linha de interseção, o vetor normal desse plano será paralelo ao vetor direção . Portanto, o vetor normal do nosso plano é .

Passo 5

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e passando pelo ponto -13(x - 2) + 3(y - 3) + 6(z - 4) = 0 , podemos montar a equação geral do plano usando a fórmula:
-13x + 26 + 3y - 9 + 6z - 24 = 0
Substituindo os valores:
-13x + 3y + 6z - 7 = 0
Distribuindo:
13x - 3y - 6z + 7 = 0
Simplificando:
Podemos multiplicar todos os termos por para facilitar:

Resposta

A equação geral do plano é:
13x - 3y - 6z + 7 = 0

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