Determinar uma equação geral para o plano que passa pelo ponto e é perpendicular a interseção dos planos e . (valor: 1,5 )
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e que é perpendicular à linha de interseção dos planos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos e . O vetor normal de um plano é o vetor formado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
Para : O vetor normal é .
Para : O vetor normal é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a direção da linha de interseção dos planos e . Essa direção é dada pelo produto vetorial dos vetores normais e .
Calculando o produto vetorial:
Então, a direção da linha de interseção é .
Passo 4
Como o plano que queremos encontrar é perpendicular a essa linha de interseção, o vetor normal desse plano será paralelo ao vetor direção . Portanto, o vetor normal do nosso plano é .
Passo 5
Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e passando pelo ponto -13(x - 2) + 3(y - 3) + 6(z - 4) = 0 , podemos montar a equação geral do plano usando a fórmula:
-13x + 26 + 3y - 9 + 6z - 24 = 0
Substituindo os valores:
-13x + 3y + 6z - 7 = 0
Distribuindo:
13x - 3y - 6z + 7 = 0
Simplificando:
Podemos multiplicar todos os termos por para facilitar: