Verifique detalhadamente que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais(com a soma e produto por escalar usuais):
Matrizes quaisquer de ordem
.
Matrizes quaisquer de ordem
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se o conjunto de todas as matrizes de ordem
é um espaço vetorial, usando a soma e o produto por escalar que já conhecemos. Então, estamos entrando no mundo dos espaços vetoriais, que é um conceito fundamental em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial e ver se as matrizes
cumprem todas elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de objetos (neste caso, matrizes) onde podemos somar quaisquer dois objetos do conjunto e multiplicar esses objetos por escalares (números reais, por exemplo), e tudo isso deve obedecer a certas regras chamadas de axiomas.
Passo 3
O primeiro axioma é a comutatividade da soma. Isso significa que, se a gente pegar duas matrizes quaisquer
e
de ordem
, a soma delas deve ser igual à soma na ordem inversa, ou seja,
. Vamos ver:
Isso é verdade porque a soma de matrizes é feita elemento a elemento, e a ordem da soma não altera o resultado.
Passo 4
O segundo axioma é a associatividade da soma. Aqui, a gente verifica se somar
com a soma de
e
é o mesmo que somar a soma de
e
com
:
Isso também é válido para matrizes, já que a adição é associativa elemento a elemento.
Passo 5
O terceiro axioma é a existência de um elemento neutro para a soma, que no caso das matrizes é a matriz zero, onde todos os elementos são zero:
Isso funciona porque somar zero a qualquer elemento de uma matriz não muda o valor desses elementos.
Passo 6
O quarto axioma é a existência de um elemento inverso para a soma. Ou seja, para cada matriz
, deve existir uma matriz
tal que:
Isso é verdade porque podemos simplesmente negar cada elemento de
para obter
, e somando elas teremos a matriz zero.
Passo 7
O quinto axioma envolve a compatibilidade da multiplicação por escalar. Se a gente multiplicar um escalar
por
e depois multiplicar por uma matriz
, deve ser igual a multiplicar primeiro
por
e depois por
:
Isso é válido porque a multiplicação de números reais é associativa.
Passo 8
O sexto axioma é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de matrizes:
Isso funciona porque distribuir o escalar sobre a soma das matrizes é o mesmo que somar os produtos escalares correspondentes.
Passo 9
O sétimo axioma é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
Isso é verdadeiro porque multiplicar a soma dos escalares por uma matriz é o mesmo que somar os produtos de cada escalar com a matriz.
Passo 10
O oitavo axioma é a existência de um escalar neutro para a multiplicação, que é o número
:
Multiplicar uma matriz por
não altera seus elementos, então isso confirma o axioma.
Resposta
Sim, o conjunto de todas as matrizes de ordem
com a soma e o produto por escalar usuais constitui um espaço vetorial, pois satisfaz todos os axiomas necessários.