Verifique detalhadamente que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais(com a soma e produto por escalar usuais):
Matrizes quaisquer de ordem 3 times 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se o conjunto de todas as matrizes de ordem 3 times 2 é um espaço vetorial, usando a soma e o produto por escalar que já conhecemos. Então, estamos entrando no mundo dos espaços vetoriais, que é um conceito fundamental em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial e ver se as matrizes 3 times 2 cumprem todas elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de objetos (neste caso, matrizes) onde podemos somar quaisquer dois objetos do conjunto e multiplicar esses objetos por escalares (números reais, por exemplo), e tudo isso deve obedecer a certas regras chamadas de axiomas.

Passo 3

O primeiro axioma é a comutatividade da soma. Isso significa que, se a gente pegar duas matrizes quaisquer A e B de ordem 3 times 2, a soma delas deve ser igual à soma na ordem inversa, ou seja, A + B = B + A. Vamos ver:
A + B = B + A
Isso é verdade porque a soma de matrizes é feita elemento a elemento, e a ordem da soma não altera o resultado.

Passo 4

O segundo axioma é a associatividade da soma. Aqui, a gente verifica se somar A com a soma de B e C é o mesmo que somar a soma de A e B com C:
A + (B + C) = (A + B) + C
Isso também é válido para matrizes, já que a adição é associativa elemento a elemento.

Passo 5

O terceiro axioma é a existência de um elemento neutro para a soma, que no caso das matrizes é a matriz zero, onde todos os elementos são zero:
A + 0 = A
Isso funciona porque somar zero a qualquer elemento de uma matriz não muda o valor desses elementos.

Passo 6

O quarto axioma é a existência de um elemento inverso para a soma. Ou seja, para cada matriz A, deve existir uma matriz -A tal que:
A + (-A) = 0
Isso é verdade porque podemos simplesmente negar cada elemento de A para obter -A, e somando elas teremos a matriz zero.

Passo 7

O quinto axioma envolve a compatibilidade da multiplicação por escalar. Se a gente multiplicar um escalar c por d e depois multiplicar por uma matriz A, deve ser igual a multiplicar primeiro c por d e depois por A:
(c cdot d) cdot A = c cdot (d cdot A)
Isso é válido porque a multiplicação de números reais é associativa.

Passo 8

O sexto axioma é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de matrizes:
c cdot (A + B) = c cdot A + c cdot B
Isso funciona porque distribuir o escalar sobre a soma das matrizes é o mesmo que somar os produtos escalares correspondentes.

Passo 9

O sétimo axioma é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
(c + d) cdot A = c cdot A + d cdot A
Isso é verdadeiro porque multiplicar a soma dos escalares por uma matriz é o mesmo que somar os produtos de cada escalar com a matriz.

Passo 10

O oitavo axioma é a existência de um escalar neutro para a multiplicação, que é o número 1:
1 cdot A = A
Multiplicar uma matriz por 1 não altera seus elementos, então isso confirma o axioma.

Resposta

Sim, o conjunto de todas as matrizes de ordem 3 times 2 com a soma e o produto por escalar usuais constitui um espaço vetorial, pois satisfaz todos os axiomas necessários.

Exercícios relacionados