Considere as retas r1:ly=2 x+5 z=-x+2 e r2: x-5=y-3=z+1.
(b) Encontre uma equação geral para o plano que contém as reta r1 e r2. (valor: 1,0 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para encontrar a equação geral de um plano que contém duas retas dadas: r1 e r2. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como representar retas e planos, além de usar vetores para achar a equação que une as duas retas dentro de um mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas que nos deram:
A reta r1 está definida por:
y = 2x + 5 z = -x + 2
Podemos reescrever isso de forma paramétrica, escolhendo x = t como parâmetro:
x = t y = 2t + 5 z = -t + 2
Então, um ponto qualquer na reta r1 é (t, 2t + 5, -t + 2). Vamos pegar dois valores de t para encontrar dois pontos distintos na reta r1. Por exemplo:
  • Para t = 0: P(0) = (0, 5, 2)
  • Para t = 1: Q(1) = (1, 7, 1)

Passo 3

Agora, precisamos identificar vetores diretores para as retas r1 e r2. Um vetor diretor de uma reta é um vetor que indica a direção dessa reta.
Já temos a reta r1 parametrizada, então o vetor diretor v1 pode ser obtido observando as variações de x, y e z em relação ao parâmetro t:
v1 = 1 2 -1
Agora, vamos analisar a reta r2:
x - 5 = y-3 = z + 1
Podemos também parametrizar essa reta. Vamos chamar a expressão comum de s:
x = 5 + s y = -3s z = -1 + s
Então, o vetor diretor v2 da reta r2 é:
v2 = 1 -3 1

Passo 4

Para encontrar a equação do plano que contém as duas retas, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular ao plano. Esse vetor normal pode ser encontrado através do produto vetorial entre os vetores diretores das duas retas.
Vamos calcular n = v1 times v2:
n = 1 2 -1 times 1 -3 1 = (2)(1) - (-1)(-3) -[(1)(1) - (-1)(1)] (1)(-3) - (2)(1) = 2 - 3 -(1 - (-1)) -3 - 2 = -1 -2 -5
Então, o vetor normal ao plano é n = (-1, -2, -5).

Passo 5

Com o vetor normal n e um ponto que pertence ao plano, podemos montar a equação geral do plano. Vamos usar o ponto P(0) = (0, 5, 2) da reta r1.
A equação geral do plano é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal n e (x0, y0, z0) é o ponto conhecido no plano.
Substituindo os valores:
-1(x - 0) - 2(y - 5) - 5(z - 2) = 0
Simplificando:
- x - 2y + 10 - 5z + 10 = 0
- x - 2y - 5z + 20 = 0
Multiplicando por -1 para deixar a equação mais convencional:
x + 2y + 5z - 20 = 0

Resposta

A equação geral do plano que contém as retas r1 e r2 é:
x + 2y + 5z - 20 = 0

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