Essas equações certamente têm a solução x=y=0. Para quais valores de a há uma reta inteira de soluções?
& a x+2 y=0 & 2 x+a y=0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de duas equações de primeiro grau com duas variáveis, e . A pergunta é: para quais valores de esse sistema não tem apenas a solução trivial , mas sim uma reta inteira de soluções? Ou seja, queremos saber quando o sistema tem infinitas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que foi dado:
& a x + 2 y = 0 & 2 x + a y = 0
Essas são duas equações lineares com duas incógnitas.

Passo 3

Para determinar quando o sistema tem infinitas soluções, vamos usar o conceito de determinante da matriz de coeficientes. Se o determinante for zero, as equações são linearmente dependentes, ou seja, uma é múltiplo da outra, e então o sistema tem infinitas soluções (forma uma reta). Se o determinante for diferente de zero, a única solução é a trivial .

Passo 4

Vamos montar a matriz de coeficientes:
a & 2 2 & a
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det = a cdot a - 2 cdot 2 = a^2 - 4

Passo 5

Para que o sistema tenha uma reta inteira de soluções, o determinante precisa ser igual a zero:
a^2 - 4 = 0
Resolvendo essa equação:
a^2 = 4 a = pm 2

Resposta

Os valores de que fazem com que o sistema tenha uma reta inteira de soluções são e .

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