Essas equações certamente têm a solução
. Para quais valores de
há uma reta inteira de soluções?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de duas equações de primeiro grau com duas variáveis,
e
. A pergunta é: para quais valores de
esse sistema não tem apenas a solução trivial
, mas sim uma reta inteira de soluções? Ou seja, queremos saber quando o sistema tem infinitas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que foi dado:
Essas são duas equações lineares com duas incógnitas.
Passo 3
Para determinar quando o sistema tem infinitas soluções, vamos usar o conceito de determinante da matriz de coeficientes. Se o determinante for zero, as equações são linearmente dependentes, ou seja, uma é múltiplo da outra, e então o sistema tem infinitas soluções (forma uma reta). Se o determinante for diferente de zero, a única solução é a trivial
.
Passo 4
Vamos montar a matriz de coeficientes:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Para que o sistema tenha uma reta inteira de soluções, o determinante precisa ser igual a zero:
Resolvendo essa equação:
Resposta
Os valores de
que fazem com que o sistema tenha uma reta inteira de soluções são
e
.