Escreva equações paramétricas para a reta r que passa pelo ponto e intercepta o eixo z perpendicularmente. Sabendo que o ponto pertence a , determine o valor de b. (valor: 2,0 )
Passo 1
Vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A questão pede para encontrarmos as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e intercepta o eixo perpendicularmente. Além disso, sabemos que o ponto está nessa reta, e precisamos descobrir o valor de . Para isso, vamos precisar entender como escrever equações paramétricas de uma reta e como a perpendicularidade com o eixo influencia a direção da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
onde é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta.
Passo 3
Sabemos que a reta passa por , então esse será o nosso ponto . A próxima coisa é determinar o vetor diretor . A informação de que a reta intercepta o eixo perpendicularmente é crucial aqui.
Passo 4
Uma reta perpendicular ao eixo tem direção paralela ao plano . Isso significa que o vetor diretor da reta não tem componente na direção , ou seja, . Assim, nosso vetor diretor fica .
Passo 5
Agora, vamos usar o ponto b = -3 + at -4 = 4 + bt 3 = 3 + 0 cdot t que está na reta . Como está na reta, ele deve satisfazer as equações paramétricas:
A terceira equação já é sempre verdadeira, então vamos focar nas duas primeiras.
Passo 6
Vamos resolver o sistema:
b = -3 + at -4 = 4 + bt
Da segunda equação:
-4 = 4 + bt implies bt = -8 implies t = -8b
Substituindo b = -3 + a(-8b) na primeira equação:
b^2 = -3b -8a
Multiplicando ambos os lados por :
Como temos duas variáveis e , precisamos de outra relação. No entanto, sabemos que o vetor diretor é e a reta é perpendicular ao eixo , o que confirma que , mas não nos dá outra equação diretamente. Para simplificar, podemos assumir que (escolhemos um valor para facilitar) e resolver para .
Como temos uma raiz negativa, isso indica que nossa suposição de está incorreta ou precisamos revisar nossa abordagem.
Passo 8
Vamos reconsiderar. Como a reta intercepta o eixo perpendicularmente, isso significa que o ponto de interseção com o eixo tem as coordenadas . Vamos encontrar esse ponto.
Passo 9
Na reta 0 = -3 + at 0 = 4 + bt , quando t = 3a t = -4b e 3a = -4b implies 3b = -4a implies b = -4a3 , temos:
Resolvendo para :
Igualando as duas expressões para :
Passo 10
Agora, vamos usar essa relação na equação que obtivemos anteriormente: