Escreva equações paramétricas para a reta r que passa pelo ponto A(-3,4,3) e intercepta o eixo z perpendicularmente. Sabendo que o ponto B(b,-4,3) pertence a r, determine o valor de b. (valor: 2,0 )

Passo 1

Vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A questão pede para encontrarmos as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e intercepta o eixo perpendicularmente. Além disso, sabemos que o ponto está nessa reta, e precisamos descobrir o valor de . Para isso, vamos precisar entender como escrever equações paramétricas de uma reta e como a perpendicularidade com o eixo influencia a direção da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
onde é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta.

Passo 3

Sabemos que a reta passa por , então esse será o nosso ponto . A próxima coisa é determinar o vetor diretor . A informação de que a reta intercepta o eixo perpendicularmente é crucial aqui.

Passo 4

Uma reta perpendicular ao eixo tem direção paralela ao plano . Isso significa que o vetor diretor da reta não tem componente na direção , ou seja, . Assim, nosso vetor diretor fica .

Passo 5

Agora, vamos usar o ponto b = -3 + at -4 = 4 + bt 3 = 3 + 0 cdot t que está na reta . Como está na reta, ele deve satisfazer as equações paramétricas:
A terceira equação já é sempre verdadeira, então vamos focar nas duas primeiras.

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
b = -3 + at -4 = 4 + bt
Da segunda equação:
-4 = 4 + bt implies bt = -8 implies t = -8b
Substituindo b = -3 + a(-8b) na primeira equação:
b^2 = -3b -8a
Multiplicando ambos os lados por :
Como temos duas variáveis e , precisamos de outra relação. No entanto, sabemos que o vetor diretor é e a reta é perpendicular ao eixo , o que confirma que , mas não nos dá outra equação diretamente. Para simplificar, podemos assumir que (escolhemos um valor para facilitar) e resolver para .

Passo 7

Assumindo b^2 = -3b -8(1) implies b^2 + 3b +8 = 0 :
b = -3 pm raiz9 -322 = -3 pm raiz-232
Resolvendo essa equação quadrática:
Como temos uma raiz negativa, isso indica que nossa suposição de está incorreta ou precisamos revisar nossa abordagem.

Passo 8

Vamos reconsiderar. Como a reta intercepta o eixo perpendicularmente, isso significa que o ponto de interseção com o eixo tem as coordenadas . Vamos encontrar esse ponto.

Passo 9

Na reta 0 = -3 + at 0 = 4 + bt , quando t = 3a t = -4b e 3a = -4b implies 3b = -4a implies b = -4a3 , temos:
Resolvendo para :
Igualando as duas expressões para :

Passo 10

Agora, vamos usar essa relação na equação que obtivemos anteriormente:
b^2 = -3b -8a
Substituindo (-4a3)^2 = -3(-4a3) -8a 16a^29 = 12a3 -8a 16a^29 = 4a -8a 16a^29 = -4a 16a^2 = -36a 16a^2 +36a =0 a(16a +36)=0 :
Então, ou .

Passo 11

Se b = -4a3 = -4(-94)3 = 93 = 3 , então , mas isso não faz sentido pois não teríamos uma direção. Portanto, .
Calculando :

Passo 12

Agora que temos x = -3 -94t y = 4 + 3t z = 3 e , podemos escrever as equações paramétricas da reta :

Passo 13

Finalmente, sabemos que o ponto -4 = 4 + 3t implies 3t = -8 implies t = -83 está na reta. Usando a equação de b = -3 -94(-83) = -3 + 6 = 3 :
Substituindo na equação de :
Parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Corrigindo, o valor correto de é .

Resposta

O valor de é .

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