(Recomendado) Descreva a interseção dos três planos u+v+w+z=6 e u+w+z=4 e u+w=2 (todos em espaço quadridimensional). É uma reta, um ponto ou um conjunto vazio? Como será a interseção se um quarto plano u=-1 for adicionado? Encontre uma quarta equação que deixe o sistema sem solução.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três equações de planos no espaço quadridimensional (com as variáveis ):
Queremos descobrir qual é a interseção desses três planos: será uma reta, um ponto ou não há solução (conjunto vazio)? Além disso, vamos ver o que acontece se adicionarmos um quarto plano e encontrar uma equação que torne o sistema sem solução.
Para resolver isso, vamos usar o método de substituição e eliminação de variáveis, que são técnicas básicas de álgebra linear para resolver sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a terceira equação: u = 2 - w . Essa equação relaciona apenas e , então podemos resolver para uma dessas variáveis em termos da outra. Vamos resolver para :

Passo 3

Agora que temos (2 - w) + w + z = 4 em termos de 2 + z = 4 , vamos substituir essa expressão na segunda equação z = 4 - 2 :
z = 2
Simplificando:
Então:

Passo 4

Com (2 - w) + v + w + 2 = 6 e 2 + v + 2 = 6 , vamos substituir esses valores na primeira equação v + 4 = 6 :
v = 6 - 4
Simplificando:
v = 2
Então:

Passo 5

Até agora, encontramos que:
u = 2 - w
v = 2
z = 2
Isso significa que pode ser qualquer valor real, e as outras variáveis são determinadas em função de . Portanto, a solução do sistema é uma reta no espaço quadridimensional, onde é o parâmetro livre.

Passo 6

Agora, vamos adicionar o quarto plano 2 - w = -1 ao sistema. Sabemos que -w = -1 - 2 , então substituindo:
-w = -3
Resolvendo para w = 3 :
u = 2 - 3 = -1
v = 2
z = 2
Com , podemos encontrar as outras variáveis:
Então, com o quarto plano , a solução se torna um ponto específico: .

Passo 7

Por último, para encontrar uma quarta equação que deixe o sistema sem solução, precisamos encontrar uma equação que seja inconsistente com as anteriores. Por exemplo, podemos escolher 2 = 5 .
Sabemos que, das equações anteriores, . Então, se adicionarmos , teremos:
Isso é impossível, ou seja, não há nenhum valor de que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Portanto, o sistema fica sem solução.

Resposta

A interseção dos três planos é uma reta. Ao adicionar o quarto plano , a interseção se torna o ponto . Uma quarta equação que deixa o sistema sem solução é .

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