(Recomendado) Descreva a interseção dos três planos
e
e
(todos em espaço quadridimensional). É uma reta, um ponto ou um conjunto vazio? Como será a interseção se um quarto plano
for adicionado? Encontre uma quarta equação que deixe o sistema sem solução.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três equações de planos no espaço quadridimensional (com as variáveis
):
Queremos descobrir qual é a interseção desses três planos: será uma reta, um ponto ou não há solução (conjunto vazio)? Além disso, vamos ver o que acontece se adicionarmos um quarto plano
e encontrar uma equação que torne o sistema sem solução.
Para resolver isso, vamos usar o método de substituição e eliminação de variáveis, que são técnicas básicas de álgebra linear para resolver sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a terceira equação:
. Essa equação relaciona apenas
e
, então podemos resolver para uma dessas variáveis em termos da outra. Vamos resolver para
:
Passo 3
Agora que temos
em termos de
, vamos substituir essa expressão na segunda equação
:
Simplificando:
Então:
Passo 4
Com
e
, vamos substituir esses valores na primeira equação
:
Simplificando:
Então:
Passo 5
Até agora, encontramos que:
Isso significa que
pode ser qualquer valor real, e as outras variáveis são determinadas em função de
. Portanto, a solução do sistema é uma reta no espaço quadridimensional, onde
é o parâmetro livre.
Passo 6
Agora, vamos adicionar o quarto plano
ao sistema. Sabemos que
, então substituindo:
Resolvendo para
:
Com
, podemos encontrar as outras variáveis:
Então, com o quarto plano
, a solução se torna um ponto específico:
.
Passo 7
Por último, para encontrar uma quarta equação que deixe o sistema sem solução, precisamos encontrar uma equação que seja inconsistente com as anteriores. Por exemplo, podemos escolher
.
Sabemos que, das equações anteriores,
. Então, se adicionarmos
, teremos:
Isso é impossível, ou seja, não há nenhum valor de
que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Portanto, o sistema fica sem solução.
Resposta
A interseção dos três planos é uma reta. Ao adicionar o quarto plano
, a interseção se torna o ponto
. Uma quarta equação que deixa o sistema sem solução é
.