Sejam e bases para . Se pertence a e , determine [v]S.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear. A questão apresenta duas bases diferentes, e , para o espaço tridimensional . A gente precisa encontrar as coordenadas de um vetor nessa nova base , sabendo que já temos as coordenadas dele na base .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são essas bases. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que podem gerar qualquer vetor no espaço através de combinações lineares. Aqui, e são duas bases para .
Passo 3
Nosso objetivo é converter as coordenadas de 2 0 1 de uma base para outra. Sabemos que , ou seja, na base , as coordenadas de são 2, 0 e 1.
Passo 4
Para fazer essa conversão, precisamos encontrar uma matriz de mudança de base que nos permite passar das coordenadas na base para as coordenadas na base . Essa matriz é geralmente chamada de .
Passo 5
A matriz de mudança de base pode ser encontrada resolvendo a relação . Isso significa que vamos expressar cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base .
Passo 6
Vamos montar as matrizes das bases S = -1 & 0 & -2 2 & 1 & 2 1 & 1 & 1 , T = -1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 e :
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a matriz tal que . Para isso, vamos calcular , onde é a inversa da matriz .