Sejam S=(-1,2,1),(0,1,1),(-2,2,1) e T=(-1,1,0),(0,1,0),(0,1,1) bases para R^3. Se v pertence a R^3 e [v]T=[l2 0 1], determine [v]S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear. A questão apresenta duas bases diferentes, e , para o espaço tridimensional . A gente precisa encontrar as coordenadas de um vetor nessa nova base , sabendo que já temos as coordenadas dele na base .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas bases. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que podem gerar qualquer vetor no espaço através de combinações lineares. Aqui, e são duas bases para .

Passo 3

Nosso objetivo é converter as coordenadas de 2 0 1 de uma base para outra. Sabemos que , ou seja, na base , as coordenadas de são 2, 0 e 1.

Passo 4

Para fazer essa conversão, precisamos encontrar uma matriz de mudança de base que nos permite passar das coordenadas na base para as coordenadas na base . Essa matriz é geralmente chamada de .

Passo 5

A matriz de mudança de base pode ser encontrada resolvendo a relação . Isso significa que vamos expressar cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base .

Passo 6

Vamos montar as matrizes das bases S = -1 & 0 & -2 2 & 1 & 2 1 & 1 & 1 , T = -1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 e :

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a matriz tal que . Para isso, vamos calcular , onde é a inversa da matriz .

Passo 8

Primeiro, vamos encontrar a inversa de T^-1 = -1 & 0 & 0 1 & 1 & -1 0 & 0 & 1 . Calculando :

Passo 9

Agora, multiplicamos PS T = T^-1 cdot S = -1 & 0 & 0 1 & 1 & -1 0 & 0 & 1 cdot -1 & 0 & -2 2 & 1 & 2 1 & 1 & 1 = 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 1 & 1 & 1 por para encontrar :

Passo 10

Agora que temos [v]S = PS T cdot [v]T = 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 1 & 1 & 1 cdot 2 0 1 = 1 cdot 2 + 0 cdot 0 + 2 cdot 1 0 cdot 2 + 1 cdot 0 + (-1) cdot 1 1 cdot 2 + 1 cdot 0 + 1 cdot 1 = 4 -1 3 , podemos encontrar multiplicando essa matriz pelas coordenadas de na base :

Resposta

As coordenadas de [v]S = 4 -1 3 na base são:

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