Considere as retas rx-alpha y+1=0 y-z-1=0, s: x=y / alpha=z e rx+y-z=0 y+z+1=0. Calcule o valor de alpha que torna:
r e s paralelas;

Passo 1

O exercício pede para encontrar o valor de alpha que torna as retas r e s paralelas. Vamos usar que, no espaço, retas são paralelas se e somente se seus vetores diretores são proporcionais.

Passo 2

Para obter o vetor diretor de r, parametrizamos o sistema
x - alpha y + 1 = 0, y - z - 1 = 0
Tomando y = t, temos z = t - 1 e x = alpha t - 1. Logo, a forma paramétrica de r é
(x,y,z) = (-1,1,-1) + t, (alpha,1,1),
e o vetor diretor de r é (alpha,1,1).

Passo 3

A reta s está dada por
x1 = yalpha = z1,
o que em forma paramétrica vira
(x,y,z) = t,(1,alpha,1)
Assim, o vetor diretor de s é (1,alpha,1).

Passo 4

Para que r e s sejam paralelas, deve existir lambdaneq0 tal que
(alpha,1,1) = lambda,(1,alpha,1)
Isso gera o sistema
alpha = lambda, 1 = lambda,alpha, 1 = lambda
Da terceira equação vem lambda = 1. Substituindo em alpha = lambda obtemos alpha = 1.

Passo 5

Portanto, o único valor de alpha que garante o paralelismo entre r e s é 1.

Resposta

alpha = 1

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