Considere as retas rx-alpha y+1=0 y-z-1=0, s: x=y / alpha=z e rx+y-z=0 y+z+1=0. Calcule o valor de alpha que torna:
r e t concorrentes;

Passo 1

Temos a reta r definida pelo sistema
x - alpha y + 1 = 0
y - z - 1 = 0
e a reta t definida pelo sistema
x + y - z = 0
y + z + 1 = 0.
Queremos encontrar o valor de alpha para que r e t concorram (ou seja, tenham um ponto em comum). Para isso, vamos resolver o sistema formado pelas quatro equações simultaneamente.

Passo 2

Começamos pelas duas equações que não envolvem alpha, que são
y - z - 1 = 0
y + z + 1 = 0.
Somando as duas, eliminamos z:
2y = 0 implies y = 0
Substituindo em y - z - 1 = 0 obtemos
0 - z - 1 = 0 implies z = -1

Passo 3

Agora usamos a equação de t
x + y - z = 0
para achar x. Substituindo y = 0 e z = -1, vem
x + 0 - (-1) = 0 implies x = -1
Obtivemos o ponto de interseção candidato (-1, 0, -1).

Passo 4

Por fim, verificamos na primeira equação de r
x - alpha y + 1 = 0
Substituindo x = -1 e y = 0, temos
-1 - alpha cdot 0 + 1 = 0 implies 0 = 0, que é verdade para qualquer valor de alpha.

Resposta

alpha in R

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