Considere as retas rx-alpha y+1=0 y-z-1=0, s: x=y / alpha=z e rx+y-z=0 y+z+1=0. Calcule o valor de alpha que torna:
s e t coplanares;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de alpha que faz com que as retas s e t sejam coplanares. Vamos usar conceitos de geometria analítica de retas em R^3 e o critério de que duas retas são coplanares se o produto misto entre o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra e os vetores diretores for zero.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a reta s em forma paramétrica a partir da forma simétrica
x1=y1=zalpha=u
Assim, um ponto em s é Ps=(0,0,0) (quando u=0) e seu vetor diretor é vs=(1,1,alpha).

Passo 3

Para a reta t, resolvemos o sistema
x+y-z=0, y+z+1=0
Tomando y=t, segue z=-t-1 e x=-2t-1. Logo, em forma paramétrica,
(x,y,z)=(-1,0,-1)+t,(-2,1,-1)
Um ponto em t é Pt=(-1,0,-1) e seu vetor diretor é vt=(-2,1,-1).

Passo 4

Duas retas em R^3 são coplanares se o produto misto
[PsPt, vs, vt]=0,
onde PsPt=Pt-Ps=(-1,0,-1).

Passo 5

Calculamos o determinante
det-1&0&-11&1&alpha-2&1&-1= -1,(1cdot(-1)-alphacdot1)+0+(-1),(1cdot1-1cdot(-2))=alpha-2
Impondo o produto misto igual a zero, obtemos
alpha-2=0

Resposta

alpha=2

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