Considere as retas , e . Calcule o valor de que torna: e reversas.
Passo 1
O problema pede o valor de para que as retas e em sejam reversas (isto é, nem paralelas nem concorrentes). Vamos usar teoria de retas em : primeira checamos paralelismo (vetores diretores), depois interseção (igualar parametrizações).
Passo 2
Cada reta vem da interseção de dois planos. Para :
n1 = (1, -\alpha, 0) e n2 = (0,1,-1).
O vetor diretor de é
$$\nu = n_1 \times n_2 = (\alpha,1,1).
v = m_1 \times m_2 = (-1,-1,0).
$$
Passo 3
Para ver se são paralelas basta checar se e são colineares. Como a terceira componente de é 1 e de é 0, não existe escalar que os faça colineares para nenhum . Logo nunca são paralelas.
Passo 4
Agora parametrizamos cada reta. Para , das equações
vemos e . Com parâmetro :
Para , de
usamos parâmetro :
Passo 5
Para testar interseção, igualamos as coordenadas de e :
Da segunda equação s=t. Da terceira t=alpha+1. Substituindo na primeira: alpha^2-1 = 1 Longrightarrow alpha^2=2 Longrightarrow alpha=pmraiz2 que leva a
Passo 6
Como para alpha=pmraiz2 as retas se intersectam, e para nenhum alpha elas são paralelas, concluímos que são reversas (nem paralelas nem concorrentes) exatamente quando alphaneqpmraiz2.