Considere as retas rx-alpha y+1=0 y-z-1=0, s: x=y / alpha=z e rx+y-z=0 y+z+1=0. Calcule o valor de alpha que torna:
r e s reversas.

Passo 1

O problema pede o valor de alpha para que as retas r e s em R^3 sejam reversas (isto é, nem paralelas nem concorrentes). Vamos usar teoria de retas em R^3: primeira checamos paralelismo (vetores diretores), depois interseção (igualar parametrizações).

Passo 2

Cada reta vem da interseção de dois planos. Para r:
n1 = (1, -\alpha, 0) e n2 = (0,1,-1).
O vetor diretor de r é
$$\nu = n_1 \times n_2 = (\alpha,1,1).
nu = n1 times n2 = (alpha,1,1) é
v = m_1 \times m_2 = (-1,-1,0).
$$

Passo 3

Para ver se são paralelas basta checar se nu e v são colineares. Como a terceira componente de nu é 1 e de v é 0, não existe escalar que os faça colineares para nenhum alpha. Logo nunca são paralelas.

Passo 4

Agora parametrizamos cada reta. Para r, das equações
x-alpha y+1=0, y-z-1=0
vemos z=y-1 e x=alpha y-1. Com parâmetro t:
r:;(x,y,z)=(-1,0,-1)+t,(alpha,1,1)
Para s, de
x-y=0, z-alpha=0
usamos parâmetro s:
s:;(x,y,z)=(0,0,alpha)+s,(1,1,0)

Passo 5

Para testar interseção, igualamos as coordenadas de r e s:
alpha t-1 = s, t = s, t -1 = alpha
Da segunda equação s=t. Da terceira t=alpha+1. Substituindo na primeira:
alpha^2-1 = 1 Longrightarrow alpha^2=2 Longrightarrow alpha=pmraiz2 que leva a

Passo 6

Como para alpha=pmraiz2 as retas se intersectam, e para nenhum alpha elas são paralelas, concluímos que são reversas (nem paralelas nem concorrentes) exatamente quando
alphaneqpmraiz2.

Resposta

alphaneqpmraiz2

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