Para que valores de alpha a reta r: x-1alpha=y1=z2 é transversal ao plano pi: x+alpha y+z=0 ?

Passo 1

Temos a reta dada em forma simétrica tfracx-1alpha=tfracy1=tfracz2 e o plano x+alpha y+z=0. O conteúdo principal é a condição de transversalidade entre reta e plano, que exige que eles se cruzem em exatamente um ponto. Para isso, precisamos que o vetor direção da reta não seja paralelo ao plano.

Passo 2

Para extrair o vetor direção vec v da reta, note que nos numeradores aparecem as variações de x,y,z em função de um parâmetro t. Assim,
vec v=(alpha,,1,,2)

Passo 3

O vetor normal vec n do plano x+alpha y+z=0 é o coeficiente de (x,y,z) na equação do plano. Logo,
vec n=(1,,alpha,,1)

Passo 4

A reta é transversal ao plano se e somente se vec v não for paralelo ao plano, ou seja, se o produto escalar vec vcdotvec n for diferente de zero. Vamos calcular esse produto:
vec vcdotvec n=alphacdot1+1cdotalpha+2cdot1=2alpha+2

Passo 5

Portanto, a condição de transversalidade é
2alpha+2neq0Longrightarrowalphaneq-1

Resposta

alphaneq-1

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