Vamos estudar dois planos dados em forma paramétrica e descobrir se eles são paralelos, coincidentes ou se se cruzam. O conteúdo envolvido é geometria analítica de planos no espaço: vamos extrair vetores diretores de cada plano, calcular seus vetores normais via produto vetorial, comparar esses normais para ver se são paralelos e, em caso afirmativo, testar se um ponto de um plano pertence ao outro.
Passo 2
Para o plano π₁, extraímos os vetores diretores e . Calculamos o normal :
Passo 3
Para o plano π₂, temos os vetores diretores v₂=(1,-1,0)₂ e w₂=(-1,-1,-2)₂. O normal n₂=v₂times w₂₂₂₂ é:
n₂= i & j & k 1 & -1 & 0 -1 & -1 & -2 = (2,2,-2) ₂
Passo 4
Observamos que n₂=(2,2,-2)=2,(1,1,-1)₂ e n₁=(-1,-1,1)=-1,(1,1,-1)₁. Logo, n₁₁ e n₂₂ são paralelos, mostrando que os planos são paralelos ou coincidentes.
Passo 5
Para verificar coincidência, escrevemos a equação cartesiana de π₁ usando n₁=(1,1,-1)₁ (multiplicamos por -1 para simplificar) e o ponto (1,1,1):
1,(x-1)+1,(y-1)-1,(z-1)=0
que simplifica para
x+y-z=1
Passo 6
Testamos o ponto inicial de π₂, (1,0,0), na equação de π₁: 1+0-0=1, que satisfaz x+y-z=1. Isso mostra que esse ponto de π₂ pertence a π₁.
Passo 7
Como os vetores normais são paralelos e há pelo menos um ponto comum, concluímos que os planos são coincidentes.