Uma roda começa a girar com uma aceleração angular constante de 3 rad / s^2. Após exatamente 1,0 segundo do início do movimento, o vetor da aceleração total de um ponto na borda da roda tem um módulo igual a 12 raiz10 cm / s^2.
Sabendo que o vetor da aceleração total combina uma componente tangencial, causada pela variação da velocidade angular, e uma componente radial, associada à trajetória circular do ponto:
(a) Determine o valor do raio da roda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma roda que começa a girar com uma aceleração angular constante de 3 , rad/s^2. Depois de 1 segundo, a aceleração total de um ponto na borda da roda é 12raiz10 , cm/s^2. Nosso objetivo aqui é descobrir o raio dessa roda.
Vamos precisar entender um pouquinho sobre movimentos circulares: temos a aceleração tangencial, que vem da mudança na velocidade angular, e a aceleração radial, que está relacionada à trajetória circular do ponto. Vamos usar essas ideias para encontrar o raio.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a aceleração tangencial ( at). Ela é dada pela fórmula:
at = alpha cdot r
Onde alpha = 3 , rad/s^2 é a aceleração angular e r é o raio que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração radial ( ar). Depois de 1 segundo, a velocidade angular ( omega) é:
omega = alpha cdot t = 3 , rad/s^2 times 1 , s = 3 , rad/s
A aceleração radial é calculada por:
ar = omega^2 cdot r = (3)^2 cdot r = 9r

Passo 4

A aceleração total ( atotal) é a combinação das componentes tangencial e radial, que formam um triângulo retângulo. Então, usamos o teorema de Pitágoras:
atotal = raizat^2 + ar^2
Sabemos que atotal = 12raiz10 , cm/s^2, então:
12raiz10 = raiz(3r)^2 + (9r)^2

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
12raiz10 = raiz9r^2 + 81r^2 = raiz90r^2 = raiz90 cdot r = 3raiz10 cdot r
Então:
12raiz10 = 3raiz10 cdot r

Passo 6

Agora, dividimos ambos os lados por 3raiz10 para isolar r:
r = 12raiz103raiz10 = 4 , cm

Resposta

O raio da roda é de 4 , cm.

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