Considere z=x+i y. Em (6) da Seção 1.1, vimos que x e y podem ser expressos em termos de z e de z. Use esses resultados para expressar as seguintes equações cartesianas na forma complexa:
(a) x=3
(b) y=10
© y=x
(d) x+2 y=8

Passo 1

Resumo: A gente tem o número complexo z = x + i y e já viu que dá para recuperar x e y do seguinte jeito:
x = dfracz + bar z2
y = dfracz - bar z2i
Aqui o objetivo é trocar cada equação em x,y por uma em z,bar z.

Passo 2

Para (a) x = 3, basta substituir x = z + bar z2 e isolar:
z + bar z2 = 3
Multiplicando por 2:
z + bar z = 6

Passo 3

Para (b) y = 10, uso y = z - bar z2i e isolo:
z - bar z2i = 10
Multiplicando por 2i:
z - bar z = 20i

Passo 4

Para © y = x, igualo z - bar z2i = z + bar z2. Multiplico os dois lados por 2i:
z - bar z = i,(z + bar z)
Essa é a forma complexa dessa reta.

Passo 5

Para (d) x + 2y = 8, substituo:
z + bar z2 + 2cdotz - bar z2i = 8
Simplifico o segundo termo: 2cdot12i = 1i = -i. Então
z + bar z2 - i(z - bar z) = 8
Multiplico tudo por 2 para limpar frações:
z + bar z - 2i z + 2ibar z = 16
Reagrupando em z e bar z:
(1 - 2i)z + (1 + 2i)bar z = 16

Resposta

(a) z + \bar z = 6
(b) z - \bar z = 20i
© z - \bar z = i,(z + \bar z)
(d) (1 - 2i)z + (1 + 2i)\bar z = 16

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