Usando a variável complexa z, determine uma equação de uma elipse no plano complexo, com focos nos pontos -2+i e 2+i e eixo principal com 8 unidades de comprimento.

Passo 1

Temos uma elipse no plano complexo com focos em F1=-2+i e F2=2+i e eixo principal de comprimento 8. Vamos usar o conceito de elipse da geometria analítica: o lugar geométrico dos pontos z tais que a soma das distâncias até os dois focos é constante igual a 2a.

Passo 2

O semieixo maior é a=tfrac82=4. O centro da elipse fica no ponto médio dos focos: (0,1). A distância do centro a cada foco é c=2. Portanto o semieixo menor é b=raiza^2-c^2=raiz16-4=2raiz3.

Passo 3

Pela definição de elipse, escrevemos em função de z
|z-F1|+|z-F2|=2a
Substituindo F1 e F2 e 2a=8:
|z+2-i|+|z-2-i|=8

Passo 4

Opcionalmente, em coordenadas reais z=x+iy temos
raiz(x+2)^2+(y-1)^2+raiz(x-2)^2+(y-1)^2=8
que, ao simplificar, leva à forma canônica
x^216+(y-1)^212=1

Resposta

|z+2-i|+|z-2-i|=8

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