Mostre que, dado A subset R^n, A cup partial A é um conjunto fechado.
É sempre verdade que A cup partial A é compacto?.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dado um conjunto AsubsetR^n, o conjunto Acuppartial A é fechado e, em seguida, discutir se ele é sempre compacto. Para isso vamos usar conceitos de fecho, fronteira, conjunto fechado e, no caso da compacidade, o critério de Heine–Borel em R^n.

Passo 2

Vamos lembrar das definições principais. O fecho de A, denotado por overline A, é o menor conjunto fechado que contém A. A fronteira de A é definida por
partial A = overline A setminus int(A) ,
onde int(A) é o interior de A.

Passo 3

Uma propriedade padrão de topologia em R^n é que o fecho de A pode ser escrito como
overline A = A cup partial AIsso ocorre porque todo ponto do fecho ou já está em A ou é limite (fronteira) de A.

Passo 4

Como overline A é, por definição, um conjunto fechado, concluímos imediatamente que
A cup partial A = overline A
é fechado.

Passo 5

Sobre compacidade, em R^n vale o teorema de Heine–Borel: um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado. Embora Acuppartial A seja sempre fechado, ele pode falhar em ser limitado. Por exemplo, para
A=(0,infty)subsetR temos
Acuppartial A=(0,infty)cup0=[0,infty)
que é fechado mas não é limitado, logo não é compacto.

Passo 6

Portanto, Acuppartial A é sempre fechado, mas só será compacto se A for limitado (pois em R^n fechado e limitado implica compacto).

Resposta

O conjunto Acuppartial A é sempre fechado, pois coincide com o fecho overline A. Contudo, ele não é sempre compacto: só é compacto quando for também limitado (pelo teorema de Heine–Borel). Por exemplo, para A=(0,infty) temos Acuppartial A=[0,infty), que não é compacto.

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