O enunciado pede para mostrarmos que, dado um conjunto , o conjunto é fechado e, em seguida, discutir se ele é sempre compacto. Para isso vamos usar conceitos de fecho, fronteira, conjunto fechado e, no caso da compacidade, o critério de Heine–Borel em .
Passo 2
Vamos lembrar das definições principais. O fecho de , denotado por , é o menor conjunto fechado que contém A. A fronteira de A é definida por
partial A = overline A setminus int(A) ,
onde int(A) é o interior de A.
Passo 3
Uma propriedade padrão de topologia em R^n é que o fecho de A pode ser escrito como
overline A = A cup partial AIsso ocorre porque todo ponto do fecho ou já está em A ou é limite (fronteira) de A.
Passo 4
Como overline A é, por definição, um conjunto fechado, concluímos imediatamente que
A cup partial A = overline A
é fechado.
Passo 5
Sobre compacidade, em R^n vale o teorema de Heine–Borel: um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado. Embora Acuppartial A seja sempre fechado, ele pode falhar em ser limitado. Por exemplo, para A=(0,infty)subsetR temos
Acuppartial A=(0,infty)cup0=[0,infty)
que é fechado mas não é limitado, logo não é compacto.
Passo 6
Portanto, Acuppartial A é sempre fechado, mas só será compacto se A for limitado (pois em R^n fechado e limitado implica compacto).
Resposta
O conjunto Acuppartial A é sempre fechado, pois coincide com o fecho overline A. Contudo, ele não é sempre compacto: só é compacto quando for também limitado (pelo teorema de Heine–Borel). Por exemplo, para A=(0,infty) temos Acuppartial A=[0,infty), que não é compacto.