Num sistema de coordenadas cartesianas, duas retas r e s, com coeficientes angulares 2 e , respectivamente, se interceptam na origem 0 . Se e são dois pontos no primeiro quadrante tais que o segmento e é perpendicular a r e á́rea do triângulo OBC é igual a 1,2 então determine a distância de B ao eixo das ordenadas.
Dica: A área do triângulo A B C, denotado por S, pode ser calculada por S=12|lllxA & yA & 1 xB & yB & 1 xC & yC & 1| rvert,
Fórmulas
l d(P0, r)=|a x+b y+c|raiza^2+b^2, m=yA-yBxA-xB , y-y0=m cdot(x-x0) e M=(xA+xB2 ; yA+yB2) |lll xA & yA & 1 xB & yB & 1 xC & yC & 1 |=0, tg(theta)=|m1-m21+m1 m2|, tg(theta)=|1m1|, xP=xA+r cdot xB1+r e yP=yA+r cdot yB1+r d(A, B)=raiz(xB-xA)^2+(yB-yA)^2
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas, a reta com coeficiente angular 2 e a reta com coeficiente angular . Essas retas se interceptam na origem . No primeiro quadrante, temos dois pontos na reta e na reta de modo que o segmento é perpendicular à reta , e a área do triângulo é igual a 1,2. Nosso objetivo é descobrir a distância do ponto ao eixo das ordenadas (eixo ).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas, condição de perpendicularidade entre duas retas, cálculo de área de triângulo no plano cartesiano e fórmula de distância de um ponto a um eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações das retas y = 2x e y = 12x . Sabemos que o coeficiente angular (inclinação) da reta r: y = 2x é 2, então sua equação na forma s: y = 12x fica:
Como a reta passa pela origem, o intercepto .
Da mesma forma, para a reta com coeficiente angular :
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos representar os pontos e nas respectivas retas e .
Como está na reta , suas coordenadas podem ser escritas como .
De forma semelhante, como está na reta , suas coordenadas serão .
Como ambos estão no primeiro quadrante, e .
Passo 4
Sabemos que o segmento mBC = -12 é perpendicular à reta mBC = yC - yBxC - xB = 12xC - 2xBxC - xB = -12 . Para utilizar essa informação, precisamos lembrar que, se duas retas são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares é igual a 12xC - 2xBxC - xB = -12 .
O coeficiente angular da reta 12xC - 2xB = -12(xC - xB) é 2, então o coeficiente angular da reta perpendicular a xC - 4xB = -xC + xB será:
2xC - 5xB = 0
Agora, vamos calcular o coeficiente angular do segmento 2xC = 5xB Rightarrow xC = 52xB usando as coordenadas dos pontos e :
Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre e :
Multiplicando ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar as frações:
Somando e subtraindo de ambos os lados:
Portanto, temos:
Passo 5
Agora, vamos usar a informação sobre a área do triângulo S = 12 | xO yB + xB yC + xC yO - xC yB - xO yC - xB yO | . A área de um triângulo formado por pontos no plano cartesiano pode ser calculada pela fórmula do determinante:
S = 12 |xB yC - xC yB|
Como 12 |xB yC - xC yB| = 1,2 é a origem 12 |xB cdot 12xC - xC cdot 2xB| = 1,2 , isso simplifica para:
12 | 12xB xC - 2xB xC | = 1,2
Sabemos que 12 | -32xB xC | = 1,2 , então:
12 cdot 32xB xC = 1,2
Substituindo 34xB xC = 1,2 e xB xC = 1,2 times 43 = 4,83 = 1,6 :