Considere o segmento de reta y=m x, \quad 8 \leq x \leq 10, para uma constante m.
(a) Determine, em termos da constante m, o comprimento de arco deste segmento de reta formulando e usando COMPULSORIAMENTE integrais.
(b) Mostre, precisamente, que o resultado obtido no item (a) é compatível com o resultado geométrico da distância entre os pontos inicial e nal deste segmento de reta.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco do segmento de reta definido por \,y=m\,x para 8\le x\le10. O conteúdo usado será a fórmula de comprimento de arco de uma curva y=f(x):
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Aqui f(x)=m\,x, logo
f'(x)=m.
Substituindo na fórmula do comprimento de arco com a=8 e b=10, obtemos
L=\int_{8}^{10}\sqrt{1+m^{2}}\;dx.

Passo 3

Como \sqrt{1+m^{2}} é constante em x, a integral é imediata:
L =\sqrt{1+m^{2}}\;\bigl[x\bigr]_{8}^{10} =\sqrt{1+m^{2}}\,(10-8) =2\,\sqrt{1+m^{2}}.

Passo 4

Geométricamente, o segmento vai do ponto (8,8m) até (10,10m). A distância euclidiana entre eles é
\sqrt{(10-8)^{2}+\bigl(10m-8m\bigr)^{2}} =\sqrt{2^{2}+(2m)^{2}} =\sqrt{4+4m^{2}} =2\,\sqrt{1+m^{2}}.

Passo 5

Comparando os resultados do comprimento de arco via integral e da distância euclidiana vemos que ambos são 2\,\sqrt{1+m^{2}}, logo estão perfeitamente compatíveis.

Resposta

(a) L=2\,\sqrt{1+m^{2}}.
(b) A distância entre (8,8m) e (10,10m) é também 2\,\sqrt{1+m^{2}}, confirmando a compatibilidade.

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