Considere o segmento de reta
, para uma constante
.
(a) Determine, em termos da constante
, o comprimento de arco deste segmento de reta formulando e usando COMPULSORIAMENTE integrais.
(b) Mostre, precisamente, que o resultado obtido no item (a) é compatível com o resultado geométrico da distância entre os pontos inicial e nal deste segmento de reta.
(a) Determine, em termos da constante
(b) Mostre, precisamente, que o resultado obtido no item (a) é compatível com o resultado geométrico da distância entre os pontos inicial e nal deste segmento de reta.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco do segmento de reta definido por
para
. O conteúdo usado será a fórmula de comprimento de arco de uma curva
:
Passo 2
Aqui
, logo
Substituindo na fórmula do comprimento de arco com
e
, obtemos
Passo 3
Como
é constante em
, a integral é imediata:
Passo 4
Geométricamente, o segmento vai do ponto
até
. A distância euclidiana entre eles é
Passo 5
Comparando os resultados do comprimento de arco via integral e da distância euclidiana vemos que ambos são
logo estão perfeitamente compatíveis.
Resposta
(a)
.
(b) A distância entre e
é também
, confirmando a compatibilidade.
(b) A distância entre