Verdadeiro ou falso:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^{4} \operatorname{sen}(x) d x=0.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^{4}\sin(x)\,dx
e decidir se ela vale zero. O conteúdo aqui é o estudo de paridade de funções e a propriedade de que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] é zero.

Passo 2

Definimos a função integranda como
f(x)=x^{4}\sin(x).
Para estudar sua paridade, analisamos x^{4} e \sin(x) separadamente:
  • x^{4} é uma função par, pois x^{4}=(-x)^{4}.
  • \sin(x) é uma função ímpar, pois \sin(-x)=-\sin(x).

Passo 3

O produto de uma função par com uma função ímpar é uma função ímpar. De fato,
f(-x)=(-x)^{4}\sin(-x)=x^{4}\bigl(-\sin(x)\bigr)=-\,x^{4}\sin(x)=-f(x).
Como f é ímpar, pela propriedade de integrais em intervalos simétricos, temos
\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0.

Resposta

Verdadeiro.

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