Determine o domínio das funções vetoriais.
r(t)=\left(-t^{2}+1\right) i+\left(\frac{4 t}{t^{2}-1}\right) j-\sqrt{\operatorname{sen}(t)} k.

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
\mathbf{r}(t)=(-t^{2}+1)\,\mathbf{i}+\frac{4t}{t^{2}-1}\,\mathbf{j}-\sqrt{\operatorname{sen}(t)}\,\mathbf{k}.
Queremos determinar o domínio, isto é, o conjunto de todos os valores de t para os quais cada componente está bem definida. Vamos usar as seguintes ideias de teoria:
  1. Um polinômio está definido para todo t\in\mathbb{R}.
  2. Uma fração exige denominador diferente de zero.
  3. Uma raiz quadrada de expressão real exige que o radicando seja não-negativo.

Passo 2

Analisando a primeira componente -t^{2}+1, vemos que é um polinômio em t. Polinômios são definidos para todo t\in\mathbb{R}. Portanto esta parte não impõe restrição ao domínio.

Passo 3

Na segunda componente \dfrac{4t}{t^{2}-1}, o denominador não pode ser zero. Logo
t^{2}-1\neq0 \quad\Longrightarrow\quad t\neq\pm1.

Passo 4

Na terceira componente -\sqrt{\operatorname{sen}(t)}, o radicando \operatorname{sen}(t) deve ser maior ou igual a zero:
\operatorname{sen}(t)\ge0.
Sabemos que \sin t\ge0 exatamente nos intervalos
t\in[2\pi k,\:\pi+2\pi k], \quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Para que todas as componentes estejam definidas simultaneamente, intersectamos as restrições:
  1. t\neq\pm1 (da fração),
  2. t\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}[2\pi k,\:\pi+2\pi k] (da raiz).
    Note que -1 não pertence aos intervalos onde \sin t\ge0, mas 1 pertence a [0,\pi], então é preciso excluir t=1.

Resposta

O domínio de \mathbf{r}(t) é
\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\bigl[\,2\pi k,\:\pi+2\pi k\bigr]\;\setminus\{1\}.

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