Considere o segmento de reta R percorrido desde o ponto ( -1, 1, 0 ) até o ponto ( 1,1,0 ). Parametrize o segmento e calcule a integral de linha do campo F ao longo de R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente parametrizar o segmento de reta que vai do ponto até o ponto e depois calcular a integral de linha do campo ao longo de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de curvas e cálculo de integrais vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta . A parametrização de um segmento de reta que vai de um ponto a outro ponto pode ser feita usando uma variável que varia de 0 a 1. A fórmula geral é:
No nosso caso, e . Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Aqui, varia de 0 a 1 para percorrer todo o segmento de reta.

Passo 3

Agora que temos a parametrização , vamos precisar encontrar a derivada dessa função em relação a , que é . Isso nos dará o vetor tangente à curva, que é necessário para calcular a integral de linha.
Derivando cada componente de :

Passo 4

A integral de linha de um campo vetorial ao longo da curva parametrizada é dada por:
Onde:
  • é o campo vetorial avaliado na parametrização da curva.
  • é a derivada da parametrização.
  • e são os limites de , que no nosso caso são 0 e 1.

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da integral de linha:
Para continuar, precisaríamos saber qual é o campo vetorial . Com essa informação, poderíamos calcular o produto escalar e resolver a integral.

Resposta

A integral de linha do campo ao longo do segmento está expressa por:
Para obter o valor numérico, é necessário conhecer a expressão específica do campo .

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