Considere o segmento de reta
percorrido desde o ponto (
) até o ponto (
). Parametrize o segmento e calcule a integral de linha do campo
ao longo de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente parametrizar o segmento de reta
que vai do ponto
até o ponto
e depois calcular a integral de linha do campo
ao longo de
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de curvas e cálculo de integrais vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta
. A parametrização de um segmento de reta que vai de um ponto
a outro ponto
pode ser feita usando uma variável
que varia de 0 a 1. A fórmula geral é:
No nosso caso,
e
. Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Aqui,
varia de 0 a 1 para percorrer todo o segmento de reta.
Passo 3
Agora que temos a parametrização
, vamos precisar encontrar a derivada dessa função em relação a
, que é
. Isso nos dará o vetor tangente à curva, que é necessário para calcular a integral de linha.
Derivando cada componente de
:
Passo 4
A integral de linha de um campo vetorial
ao longo da curva parametrizada
é dada por:
Onde:
-
é o campo vetorial avaliado na parametrização da curva. -
é a derivada da parametrização. -
e são os limites de , que no nosso caso são 0 e 1.
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula da integral de linha:
Para continuar, precisaríamos saber qual é o campo vetorial
. Com essa informação, poderíamos calcular o produto escalar e resolver a integral.
Resposta
A integral de linha do campo
ao longo do segmento
está expressa por:
Para obter o valor numérico, é necessário conhecer a expressão específica do campo
.