Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada. Encontre os vértices e os focos. Faça um esboço da seção cônica.
2 x^2 = y^2 - 8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar que tipo de seção cônica é a equação . Depois, precisamos encontrar os vértices e os focos dessa seção e fazer um esboço. Para resolver isso, vamos precisar entender as formas padrão das seções cônicas e como identificar cada uma delas a partir da equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para uma forma que facilite a identificação da seção cônica. A equação dada é:
Vamos trazer todos os termos para um lado:
Agora, dividimos ambos os lados por 8 para deixar a equação igualada a 1:
Essa forma é semelhante à da equação padrão de uma hipérbole.

Passo 3

Vamos confirmar que é uma hipérbole. A forma padrão de uma hipérbole vertical é:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que , , e . Portanto, e . Isso confirma que estamos lidando com uma hipérbole centralizada na origem, com eixo maior na direção do eixo y.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vértices. Para uma hipérbole vertical, os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo y. Como o centro é (0,0) e , os vértices são:
Em seguida, vamos encontrar os focos. A distância dos focos é dada por , onde . Então:
Portanto, os focos estão em:

Passo 5

Vamos fazer um esboço da hipérbole. O centro está na origem (0,0). Os vértices estão a unidades acima e abaixo do centro no eixo y. Os focos estão a unidades acima e abaixo do centro, também no eixo y. A hipérbole abrirá para cima e para baixo, já que a diferença está no termo .

Resposta

A equação representa uma hipérbole com centro na origem. Os vértices estão em e . Os focos estão em e . No esboço, a hipérbole abre verticalmente, com os ramos se estendendo para cima e para baixo a partir do centro.

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