Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada. Encontre os vértices e os focos. Faça um esboço da seção cônica.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar que tipo de seção cônica é a equação
. Depois, precisamos encontrar os vértices e os focos dessa seção e fazer um esboço. Para resolver isso, vamos precisar entender as formas padrão das seções cônicas e como identificar cada uma delas a partir da equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para uma forma que facilite a identificação da seção cônica. A equação dada é:
Vamos trazer todos os termos para um lado:
Agora, dividimos ambos os lados por 8 para deixar a equação igualada a 1:
Essa forma é semelhante à da equação padrão de uma hipérbole.
Passo 3
Vamos confirmar que é uma hipérbole. A forma padrão de uma hipérbole vertical é:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que
,
,
e
. Portanto,
e
. Isso confirma que estamos lidando com uma hipérbole centralizada na origem, com eixo maior na direção do eixo y.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os vértices. Para uma hipérbole vertical, os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo y. Como o centro é (0,0) e
, os vértices são:
Em seguida, vamos encontrar os focos. A distância dos focos é dada por
, onde
. Então:
Portanto, os focos estão em:
Passo 5
Vamos fazer um esboço da hipérbole. O centro está na origem (0,0). Os vértices estão a
unidades acima e abaixo do centro no eixo y. Os focos estão a
unidades acima e abaixo do centro, também no eixo y. A hipérbole abrirá para cima e para baixo, já que a diferença está no termo
.
Resposta
A equação
representa uma hipérbole com centro na origem. Os vértices estão em
e
. Os focos estão em
e
. No esboço, a hipérbole abre verticalmente, com os ramos se estendendo para cima e para baixo a partir do centro.