Considere a seguinte afirmação: “Num espaço vetorial E existe um único vetor nulo e cada elemento de E possui um único inverso”. Qual fato demonstrado nesta seção assegura que esta afirmação é verdadeira?

Passo 1

O enunciado afirma que em um espaço vetorial E existe um único vetor nulo e que cada elemento de E tem um único inverso aditivo. Para justificar essa unicidade precisamos recorrer às propriedades algébricas da operação de soma vetorial e a um resultado de teoria de grupos.

Passo 2

Na seção foi mostrado que a estrutura (E,+), onde + é a soma de vetores em E, satisfaz todos os axiomas de um grupo abeliano:
  • associatividade,
  • existência de elemento neutro (o vetor zero),
  • existência de inversos aditivos,
  • e comutatividade.

Passo 3

Um fato clássico de teoria de grupos afirma que, em qualquer grupo, o elemento neutro é único e, para cada elemento, o seu inverso também é único.

Resposta

O fato de que (E,+) forma um grupo abeliano, em que o elemento neutro e os inversos são únicos.

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