Considere a seguinte afirmação: “Num espaço vetorial E existe um único vetor nulo e cada elemento de E possui um único inverso”. Qual fato demonstrado nesta seção assegura que esta afirmação é verdadeira?
Passo 1
O enunciado afirma que em um espaço vetorial
existe um único vetor nulo e que cada elemento de
tem um único inverso aditivo. Para justificar essa unicidade precisamos recorrer às propriedades algébricas da operação de soma vetorial e a um resultado de teoria de grupos.
Passo 2
Na seção foi mostrado que a estrutura
, onde
é a soma de vetores em
, satisfaz todos os axiomas de um grupo abeliano:
- associatividade,
- existência de elemento neutro (o vetor zero),
- existência de inversos aditivos,
- e comutatividade.
Passo 3
Um fato clássico de teoria de grupos afirma que, em qualquer grupo, o elemento neutro é único e, para cada elemento, o seu inverso também é único.
Resposta
O fato de que
forma um grupo abeliano, em que o elemento neutro e os inversos são únicos.